Relacione os quatro primeiros termos e, se possível, determine o limite de cada uma das sequências.
\left\{\frac{n^{2}+1}{n}\right\}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left\{\frac{n^{2}+1}{n}\right\} e pede duas coisas: (1) relacionar (ou seja, escrever) os quatro primeiros termos desta sequência; (2) se possível, determinar o limite da sequência quando n\to\infty. Informações fornecidas: a fórmula geral do termo é \frac{n^{2}+1}{n} para n=1,2,3,\dots.

Passo 2

Vamos calcular o primeiro termo substituindo n=1. Temos
a_{1}=\frac{1^{2}+1}{1}=\frac{1+1}{1}=\frac{2}{1}=2.
Expliquei cada soma/divisão para você conseguir replicar na prova.

Passo 3

Agora o segundo termo com n=2:
a_{2}=\frac{2^{2}+1}{2}=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{2}.
De novo fiz a soma no numerador e depois dividi pelo denominador.

Passo 4

O terceiro termo com n=3:
a_{3}=\frac{3^{2}+1}{3}=\frac{9+1}{3}=\frac{10}{3}.
Se preferir, pode também escrever como 3,\overline{3} (ou seja, aproximadamente 3{,}333\ldots), mas na prova deixe em fração exata \frac{10}{3}.

Passo 5

O quarto termo com n=4:
a_{4}=\frac{4^{2}+1}{4}=\frac{16+1}{4}=\frac{17}{4}.
Pronto — já temos os quatro primeiros termos em forma exata.

Passo 6

Agora vamos reescrever o termo geral de forma mais clara. Faça a divisão do numerador por n:
\frac{n^{2}+1}{n}= \frac{n^{2}}{n}+\frac{1}{n}=n+\frac{1}{n}.
Isto é útil porque separa uma parte que cresce ( n) e uma parte que vai para zero ( \tfrac{1}{n}).

Passo 7

Estude a parte pequena: por que \tfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty? Intuição: conforme n cresce, dividir 1 por um número cada vez maior dá um valor cada vez menor, aproximando-se de zero. Formalmente, dado qualquer \varepsilon>0, basta escolher N>\tfrac{1}{\varepsilon}; então para todo n\ge N temos \tfrac{1}{n}\le\tfrac{1}{N}<\varepsilon. Isso mostra \lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n}=0.

Passo 8

Com a reescrita a_{n}=n+\tfrac{1}{n} e sabendo que \tfrac{1}{n}\to 0, a parte dominante é n. Como n\to\infty quando n aumenta, intuitivamente a_{n} também tende a +\infty. Para uma argumentação direta: para qualquer número grande M>0 escolha N=\lceil M\rceil+1. Para todo n\ge N temos
a_{n}=n+\frac{1}{n}>n\ge N> M,
logo os termos ficam maiores que qualquer M escolhido — isto é exatamente a definição de limite igual a +\infty. Portanto a sequência diverge para +\infty.

Passo 9

Como observação útil para a prova: a sequência é crescente. Uma forma de verificar é calcular a diferença
a_{n+1}-a_{n}=\frac{(n+1)^{2}+1}{n+1}-\frac{n^{2}+1}{n}=\frac{n^{2}+n-1}{n(n+1)},
e notar que para n\ge 1 o numerador n^{2}+n-1 é positivo, então a diferença é positiva. Uma sequência crescente cujo termo geral tende a crescer sem limite confirma que o limite é +\infty.

Resposta

a_{1}=2,\;a_{2}=\dfrac{5}{2},\;a_{3}=\dfrac{10}{3},\;a_{4}=\dfrac{17}{4}\n \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{n}=+\infty

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