Relacione os quatro primeiros termos e, se possível, determine o limite de cada uma das sequências.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede duas coisas: (1) relacionar (ou seja, escrever) os quatro primeiros termos desta sequência; (2) se possível, determinar o limite da sequência quando
. Informações fornecidas: a fórmula geral do termo é
para
.
Passo 2
Vamos calcular o primeiro termo substituindo
. Temos
Expliquei cada soma/divisão para você conseguir replicar na prova.
Passo 3
Agora o segundo termo com
:
De novo fiz a soma no numerador e depois dividi pelo denominador.
Passo 4
O terceiro termo com
:
Se preferir, pode também escrever como
(ou seja, aproximadamente
), mas na prova deixe em fração exata
.
Passo 5
O quarto termo com
:
Pronto — já temos os quatro primeiros termos em forma exata.
Passo 6
Agora vamos reescrever o termo geral de forma mais clara. Faça a divisão do numerador por
:
Isto é útil porque separa uma parte que cresce (
) e uma parte que vai para zero (
).
Passo 7
Estude a parte pequena: por que
quando
? Intuição: conforme
cresce, dividir
por um número cada vez maior dá um valor cada vez menor, aproximando-se de zero. Formalmente, dado qualquer
, basta escolher
; então para todo
temos
. Isso mostra
.
Passo 8
Com a reescrita
e sabendo que
, a parte dominante é
. Como
quando
aumenta, intuitivamente
também tende a
. Para uma argumentação direta: para qualquer número grande
escolha
. Para todo
temos
logo os termos ficam maiores que qualquer
escolhido — isto é exatamente a definição de limite igual a
. Portanto a sequência diverge para
.
Passo 9
Como observação útil para a prova: a sequência é crescente. Uma forma de verificar é calcular a diferença
e notar que para
o numerador
é positivo, então a diferença é positiva. Uma sequência crescente cujo termo geral tende a crescer sem limite confirma que o limite é
.