A integral da curva \gamma(t)=\left(t, \frac{1}{1+t}, e^{-t}\right) de 0 a 2 é:
a. \left(2, \ln (3), 1-e^{-2}\right)
b. \left(2, \ln (3), \frac{e^{-2}-1}{2 e}\right)
c. \left(2, \ln (2), \frac{1-e^{-2}}{2 e^{-2}}\right)
d. \left(2, \ln (3), \frac{1-e^{-2}}{2 e}\right)
e. \left(\frac{1}{3}, \ln (2), \frac{e^{2}-1}{2 e^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral do vetor \gamma(t) = \bigl(t,\tfrac{1}{1+t},e^{-t}\bigr) no intervalo de t=0 até t=2. Como trata-se de uma integral de vetor, vamos integrar cada componente separadamente.

Passo 2

Para a primeira componente, calculamos
\int_{0}^{2} t \,dt = \left[\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{2} = \frac{2^2}{2} - 0 = 2.

Passo 3

Para a segunda componente, usamos que
\int_{0}^{2} \frac{1}{1+t} \,dt = \bigl[\ln(1+t)\bigr]_{0}^{2} = \ln(3) - \ln(1) = \ln(3).

Passo 4

Para a terceira componente, fazemos
\int_{0}^{2} e^{-t} \,dt = \left[-e^{-t}\right]_{0}^{2} = \bigl(-e^{-2}\bigr) - \bigl(-e^{0}\bigr) = 1 - e^{-2}.

Passo 5

Juntando as três integrais, obtemos o vetor
\bigl(2,\;\ln(3),\;1-e^{-2}\bigr),
que corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a) \bigl(2,\ln(3),1-e^{-2}\bigr)

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