Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais:
c) \sigma(t)=(2 \cos t, 3 t, 5), \quad t \in[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado pede um esboço da curva dada por \sigma(t)=(2\cos t,\,3t,\,5) para t\in[0,2\pi].
Informações dadas e o que precisamos representar explicitamente:
  • Expressão paramétrica: \sigma(t)=(2\cos t,\,3t,\,5).
  • Intervalo do parâmetro: t\in[0,2\pi].
  • A tarefa: descrever e indicar como desenhar (esboçar) a curva, indicando pontos importantes e orientação.

Passo 2

Separei as componentes para entender a geometria:
  • x(t)=2\cos t. Isto é uma oscilação entre -2 e 2.
  • y(t)=3t. Isto cresce linearmente com t; é sempre crescente.
  • z(t)=5. É constante.
Conclusão imediata: a curva fica toda no plano z=5, ou seja, é uma curva plana (não helicoidal): a terceira coordenada não muda.

Passo 3

Estude a projeção no plano xy (é suficiente para o esboço porque z é constante). A projeção é
\gamma(t)=(2\cos t,\,3t). Podemos escrever x em função de y eliminando t:
t=\frac{y}{3}\quad\Rightarrow\quad x=2\cos\!\left(\frac{y}{3}\right).
Isto mostra que, no plano z=5, a curva é uma “onda” do tipo cosseno ao longo do eixo y, com amplitude 2. A periodicidade em y é:
\Delta y = 3\cdot(2\pi)=6\pi,
ou seja, para y variar de 0 a 6\pi temos uma oscilação completa. Como t\in[0,2\pi], temos y\in[0,6\pi] — portanto exatamente uma oscilação completa da função cosseno ao longo do intervalo dado.

Passo 4

Para saber a orientação e os pontos de máximo/mínimo em x calcule a derivada:
\sigma'(t)=(-2\sin t,\,3,\,0).
  • A componente y' é 3>0, logo conforme t aumenta a coordenada y sempre cresce: a orientação da curva é do pequeno y para o grande y.
  • As reversões em x (pontos onde x'\!=\!0) ocorrem quando \sin t=0, i.e. t=0,\pi,2\pi. Avaliando \sigma(t) nesses pontos obtemos pontos-chave:
    • t=0:\\ \sigma(0)=(2,\,0,\,5).
    • t=\dfrac{\pi}{2}:\\ \sigma\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=(0,\,\tfrac{3\pi}{2},\,5).
    • t=\pi:\\ \sigma(\pi)=(-2,\,3\pi,\,5).
    • t=\dfrac{3\pi}{2}:\\ \sigma\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=(0,\,\tfrac{9\pi}{2},\,5).
    • t=2\pi:\\ \sigma(2\pi)=(2,\,6\pi,\,5).
Para visualização numérica aproximada (útil ao desenhar):
3\pi\approx 9,425,\qquad 6\pi\approx 18,850,\qquad \tfrac{3\pi}{2}\approx 4,712,\qquad \tfrac{9\pi}{2}\approx 14,137.

Passo 5

Instruções passo a passo para desenhar o esboço (faça num papel; eu explico como):
  1. Desenhe um sistema de eixos x (horizontal) e y (horizontal longo), e indique a coordenada z=5 como rótulo da “camada” do plano — mas como z é constante basta fixar que tudo está nesse plano.
  2. Marque no eixo x os valores -2, 0, 2. Marque no eixo y os valores 0, \tfrac{3\pi}{2}\approx 4,712, 3\pi\approx 9,425, \tfrac{9\pi}{2}\approx 14,137, 6\pi\approx 18,850. Use uma escala que caiba y até cerca de 19.
  3. Plote os pontos chave (todos têm z=5):
    • (2,\,0,\,5) à esquerda do desenho inicial (ou no início do eixo y).
    • Em y\approx 4,712 coloque (0,\,\tfrac{3\pi}{2},\,5).
    • Em y\approx 9,425 coloque (-2,\,3\pi,\,5).
    • Em y\approx 14,137 coloque (0,\,\tfrac{9\pi}{2},\,5).
    • Em y\approx 18,850 coloque (2,\,6\pi,\,5).
  4. Entre esses pontos desenhe uma curva suave que segue x=2\cos(y/3): começa em x=2, decresce até x=-2 em y=3\pi e volta a x=2 em y=6\pi. É exatamente uma crista e um vale de uma oscilação de cosseno.
  5. Coloque setas indicando a orientação (sentido crescente de t, ou seja, sentido crescente de y).

Passo 6

Observações finais e dicas para a prova:
  • A curva é plana (tudo em z=5), então para esboçar basta projetar no plano xy e lembrar que a altura z é constante.
  • A variação de x é limitada ( |x|\le 2), enquanto y é monotonicamente crescente com t; isso garante que não há autointerseções (para este intervalo de t a função y=3t é injetora).
  • Pontos onde x atinge extremos ocorrem em t=0,\pi,2\pi; verificar \sigma'(t) é a forma padrão de encontrar orientação e extremos facilmente na prova.

Resposta

A curva é uma única oscilação da função cosseno no plano z=5, dada por x=2\cos\!\left(\dfrac{y}{3}\right) para y\in[0,6\pi]. Passa pelos pontos (2,0,5), (0,\tfrac{3\pi}{2},5), (-2,3\pi,5), (0,\tfrac{9\pi}{2},5) e (2,6\pi,5) e tem orientação de y crescente (isto é, conforme t aumenta).

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