Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais:
c)
.
c)
Passo 1
O enunciado pede um esboço da curva dada por
para
.
Informações dadas e o que precisamos representar explicitamente:
Informações dadas e o que precisamos representar explicitamente:
- Expressão paramétrica:
. - Intervalo do parâmetro:
. - A tarefa: descrever e indicar como desenhar (esboçar) a curva, indicando pontos importantes e orientação.
Passo 2
Separei as componentes para entender a geometria:
-
. Isto é uma oscilação entre e . -
. Isto cresce linearmente com ; é sempre crescente. -
. É constante.
Conclusão imediata: a curva fica toda no plano
, ou seja, é uma curva plana (não helicoidal): a terceira coordenada não muda.
Passo 3
Estude a projeção no plano
(é suficiente para o esboço porque
é constante). A projeção é
. Podemos escrever
em função de
eliminando
:
Isto mostra que, no plano
, a curva é uma “onda” do tipo cosseno ao longo do eixo
, com amplitude
. A periodicidade em
é:
ou seja, para
variar de
a
temos uma oscilação completa. Como
, temos
— portanto exatamente uma oscilação completa da função cosseno ao longo do intervalo dado.
Passo 4
Para saber a orientação e os pontos de máximo/mínimo em
calcule a derivada:
- A componente
é , logo conforme aumenta a coordenada sempre cresce: a orientação da curva é do pequeno para o grande . - As reversões em
(pontos onde ) ocorrem quando , i.e. . Avaliando nesses pontos obtemos pontos-chave: -
. -
. -
. -
. -
.
-
Para visualização numérica aproximada (útil ao desenhar):
Passo 5
Instruções passo a passo para desenhar o esboço (faça num papel; eu explico como):
- Desenhe um sistema de eixos
(horizontal) e (horizontal longo), e indique a coordenada como rótulo da “camada” do plano — mas como é constante basta fixar que tudo está nesse plano. - Marque no eixo
os valores , , . Marque no eixo os valores , , , , . Use uma escala que caiba até cerca de . - Plote os pontos chave (todos têm
): -
à esquerda do desenho inicial (ou no início do eixo ). - Em
coloque . - Em
coloque . - Em
coloque . - Em
coloque .
-
- Entre esses pontos desenhe uma curva suave que segue
: começa em , decresce até em e volta a em . É exatamente uma crista e um vale de uma oscilação de cosseno. - Coloque setas indicando a orientação (sentido crescente de
, ou seja, sentido crescente de ).
Passo 6
Observações finais e dicas para a prova:
- A curva é plana (tudo em
), então para esboçar basta projetar no plano e lembrar que a altura é constante. - A variação de
é limitada ( ), enquanto é monotonicamente crescente com ; isso garante que não há autointerseções (para este intervalo de a função é injetora). - Pontos onde
atinge extremos ocorrem em ; verificar é a forma padrão de encontrar orientação e extremos facilmente na prova.
Resposta
A curva é uma única oscilação da função cosseno no plano
, dada por
para
. Passa pelos pontos
,
,
,
e
e tem orientação de
crescente (isto é, conforme
aumenta).