Jogo dos erros: encontre os erros nas “equivalências” abaixo. Em cada uma delas há uma implicação que não vale e você deve encontrá-la. Lembre-se de que, para invalidar a veracidade de uma sentença, basta encontrar um exemplo para o qual ela não seja válida. O exemplo deve ser explícito. No que segue, a, b, x, y \in \mathbb{R}.
(a) a=b \Longleftrightarrow|a|=|b|.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre qual das implicações na “equivalência” abaixo não vale, e que eu dê um exemplo explícito que a invalide. A igualdade em questão é:
a=b \Longleftrightarrow |a|=|b|
Devem ser verificadas as duas implicações separadamente:
  • (I) a=b \Rightarrow |a|=|b|;
  • (II) |a|=|b| \Rightarrow a=b.
    O objetivo é mostrar qual delas é falsa e fornecer um contraexemplo numérico quando for o caso.

Passo 2

Vou explicar o conceito usado aqui: o valor absoluto. Por definição,
|x|=\begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Dessa definição seguem duas propriedades simples e úteis:
|x|\ge 0\quad\text{e}\quad |-x|=|x|.
Com isso, verificar a implicação (I) é direto: se a=b, então substituindo b por a |b|=|a|, logo |a|=|b|. Portanto (I) é verdadeira para todos os a,b\in\mathbb{R}.]

Passo 3

Agora examino a implicação (II): suponha que |a|=|b|. O que isso nos garante? Uma técnica prática é elevar ambos os lados ao quadrado (preserva igualdade porque a função x\mapsto x^2 é tal que u=v\Rightarrow u^2=v^2; aqui como |a|,|b|\ge0 não há perda):
|a|=|b|\quad\Rightarrow\quad |a|^2=|b|^2.
Mas |a|^2=a^2 e |b|^2=b^2, então
a^2=b^2.
Da igualdade de quadrados segue
a^2-b^2=0\quad\Rightarrow\quad (a-b)(a+b)=0,
logo a-b=0 ou a+b=0. Portanto
|a|=|b|\quad\Rightarrow\quad a=b \text{ ou } a=-b.
Isto mostra que |a|=|b| não força necessariamente a=b; só garante a=b quando se exclui a possibilidade a=-b.

Passo 4

Para invalidar a implicação (II) basta um contraexemplo explícito com a\neq b e |a|=|b|. Um exemplo simples:
a=1,\qquad b=-1.
Verificação:
|a|=|1|=1,\qquad |b|=|-1|=1,
logo |a|=|b| é verdadeiro, mas a=b é falso porque 1\neq -1. Portanto a implicação |a|=|b|\Rightarrow a=b não vale em geral.

Passo 5

Conclusão prática para a prova (dica amiga): sempre que encontrar uma afirmação do tipo "se |a|=|b| então a=b", desconfie — o caso contrário a=-b também é possível. A única implicação que é sempre verdadeira é a=b\Rightarrow |a|=|b|.

Resposta

A implicação que não vale é |a|=|b|\Rightarrow a=b. Um contraexemplo é a=1,\\ b=-1, pois |1|=|-1|=1 mas 1\neq -1.

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