Jogo dos erros: encontre os erros nas “equivalências” abaixo. Em cada uma delas há uma implicação que não vale e você deve encontrá-la. Lembre-se de que, para invalidar a veracidade de uma sentença, basta encontrar um exemplo para o qual ela não seja válida. O exemplo deve ser explícito. No que segue,
.
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre qual das implicações na “equivalência” abaixo não vale, e que eu dê um exemplo explícito que a invalide. A igualdade em questão é:
Devem ser verificadas as duas implicações separadamente:
- (I)
; - (II)
.
O objetivo é mostrar qual delas é falsa e fornecer um contraexemplo numérico quando for o caso.
Passo 2
Vou explicar o conceito usado aqui: o valor absoluto. Por definição,
Dessa definição seguem duas propriedades simples e úteis:
Com isso, verificar a implicação (I) é direto: se
, então substituindo
por
dá
, logo
. Portanto (I) é verdadeira para todos os
.]
Passo 3
Agora examino a implicação (II): suponha que
. O que isso nos garante? Uma técnica prática é elevar ambos os lados ao quadrado (preserva igualdade porque a função
é tal que
; aqui como
não há perda):
Mas
e
, então
Da igualdade de quadrados segue
logo
ou
. Portanto
Isto mostra que
não força necessariamente
; só garante
quando se exclui a possibilidade
.
Passo 4
Para invalidar a implicação (II) basta um contraexemplo explícito com
e
. Um exemplo simples:
Verificação:
logo
é verdadeiro, mas
é falso porque
. Portanto a implicação
não vale em geral.
Passo 5
Conclusão prática para a prova (dica amiga): sempre que encontrar uma afirmação do tipo "se
então
", desconfie — o caso contrário
também é possível. A única implicação que é sempre verdadeira é
.
Resposta
A implicação que não vale é
. Um contraexemplo é
, pois
mas
.