QUESTÃO 02 : Encontre o domínio de
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o domínio da função
Informações relevantes dadas (explicitadas):
- A função depende da expressão
. - Para que
exista, duas condições devem ser satisfeitas simultaneamente: - o argumento do logaritmo precisa ser estritamente positivo, ou seja
- o logaritmo não pode ser zero (pois está no denominador), ou seja
que equivale a
- o argumento do logaritmo precisa ser estritamente positivo, ou seja
A resolução começa a partir dessas duas condições.
Passo 2
Trato da condição de existência do logaritmo:
Vamos fatorar o polinômio
. Testando raízes racionais, verifica-se que
é raiz porque
Logo
é fator. Fazendo a divisão ou usando fatoração, obtemos
Agora, analisar o sinal de
:
- O quadrático
tem discriminante , então não tem raízes reais e, como o coeficiente de é positivo, para todo . - Portanto o sinal de
é o mesmo do fator . Assim
Conclusão parcial: a exigência de que o argumento do ln seja positivo reduz o domínio candidato para
.
Passo 3
Agora imponho a segunda condição: o denominador não pode ser zero. Ou seja, não pode ocorrer
o que equivale a
Defino o polinômio
Precisamos excluir as raízes reais de
do domínio. Primeiro verifico sinais em pontos fáceis:
Como
é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz real em
.
Passo 4
Tenho que verificar se essa raiz em
é única na região
, para saber exatamente quais pontos excluir. Para isso uso a derivada:
Para
temos
Como
é crescente para
e já em
é positivo, segue que
para todo
. Portanto
é estritamente crescente em
. Logo
tem exatamente uma raiz real em
. Chamo essa raiz de
. Assim existe exatamente um
tal que
ou seja
é o único ponto em
onde o argumento do ln seria igual a
.
Passo 5
Agora preciso de uma aproximação numérica razoável de
para escrever o domínio de forma prática (na prova é aceitável deixar como “a única raiz real de
em
”, mas uma aproximação ajuda a intuir onde ela está). Faço uma bisseção rápida entre
e
:
Calculo
e
.
Como
é contínua, a raiz
está entre
e
. Interpolando linearmente obtemos a aproximação
Essa precisão é suficiente para escrever o domínio numérico. (Se quiser mais precisão, pode-se aplicar Newton ou continuar a bisseção.)
Passo 6
Juntando tudo:
- A exigência de positividade do argumento deu
. - Devemos excluir o ponto
em onde o argumento vale (pois aí e o denominador se anula).
Portanto o domínio de
é
onde
é a única raiz real de
no intervalo
, com
.