QUESTÃO 02 : Encontre o domínio de f(x)=\frac{1}{\ln \left(x^{3}-2 x^{2}-2 x-3\right)}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o domínio da função
f(x)=\frac{1}{\ln\!\bigl(x^{3}-2x^{2}-2x-3\bigr)}.
Informações relevantes dadas (explicitadas):
  • A função depende da expressão \ln\!\bigl(x^{3}-2x^{2}-2x-3\bigr).
  • Para que f(x) exista, duas condições devem ser satisfeitas simultaneamente:
    1. o argumento do logaritmo precisa ser estritamente positivo, ou seja x^{3}-2x^{2}-2x-3>0;
    2. o logaritmo não pode ser zero (pois está no denominador), ou seja \ln\!\bigl(x^{3}-2x^{2}-2x-3\bigr)\neq 0que equivale a x^{3}-2x^{2}-2x-3\neq 1.
A resolução começa a partir dessas duas condições.

Passo 2

Trato da condição de existência do logaritmo:
x^{3}-2x^{2}-2x-3>0.
Vamos fatorar o polinômio P(x)=x^{3}-2x^{2}-2x-3. Testando raízes racionais, verifica-se que x=3 é raiz porque
3^{3}-2\cdot3^{2}-2\cdot3-3=27-18-6-3=0.
Logo x-3 é fator. Fazendo a divisão ou usando fatoração, obtemos
P(x)=(x-3)(x^{2}+x+1).
Agora, analisar o sinal de P(x):
  • O quadrático x^{2}+x+1 tem discriminante \Delta=1-4=-3<0, então não tem raízes reais e, como o coeficiente de x^{2} é positivo, x^{2}+x+1>0 para todo x\in\mathbb{R}.
  • Portanto o sinal de P(x) é o mesmo do fator x-3. Assim
x^{3}-2x^{2}-2x-3>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x-3>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x>3.
Conclusão parcial: a exigência de que o argumento do ln seja positivo reduz o domínio candidato para (3,\infty).

Passo 3

Agora imponho a segunda condição: o denominador não pode ser zero. Ou seja, não pode ocorrer
\ln\!\bigl(x^{3}-2x^{2}-2x-3\bigr)=0,
o que equivale a
x^{3}-2x^{2}-2x-3=1.
Defino o polinômio
Q(x)=x^{3}-2x^{2}-2x-4.
Precisamos excluir as raízes reais de Q(x) do domínio. Primeiro verifico sinais em pontos fáceis:
Q(3)=3^{3}-2\cdot3^{2}-2\cdot3-4=27-18-6-4=-1<0,
Q(4)=4^{3}-2\cdot4^{2}-2\cdot4-4=64-32-8-4=20>0.
Como Q é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz real em (3,4).

Passo 4

Tenho que verificar se essa raiz em (3,4) é única na região x>3, para saber exatamente quais pontos excluir. Para isso uso a derivada:
Q'(x)=3x^{2}-4x-2.
Para x\ge 3 temos
Q'(3)=3\cdot3^{2}-4\cdot3-2=27-12-2=13>0.
Como 3x^{2}-4x-2 é crescente para x\ge 0 e já em x=3 é positivo, segue que Q'(x)>0 para todo x\ge 3. Portanto Q é estritamente crescente em [3,\infty). Logo Q tem exatamente uma raiz real em (3,\infty). Chamo essa raiz de \alpha. Assim existe exatamente um \alpha\in(3,4) tal que
Q(\alpha)=\alpha^{3}-2\alpha^{2}-2\alpha-4=0,
ou seja \alpha é o único ponto em (3,\infty) onde o argumento do ln seria igual a 1.

Passo 5

Agora preciso de uma aproximação numérica razoável de \alpha para escrever o domínio de forma prática (na prova é aceitável deixar como “a única raiz real de Q em (3,4)”, mas uma aproximação ajuda a intuir onde ela está). Faço uma bisseção rápida entre 3{,}07 e 3{,}08:
Calculo Q(3{,}07) e Q(3{,}08).
Q(3{,}07)\approx -0{,}0508\quad\text{(negativo)},
Q(3{,}08)\approx 0{,}0853\quad\text{(positivo)}.
Como Q é contínua, a raiz \alpha está entre 3{,}07 e 3{,}08. Interpolando linearmente obtemos a aproximação
\alpha\approx 3{,}074\quad(\text{duas casas decimais: } \alpha\approx 3{,}07).
Essa precisão é suficiente para escrever o domínio numérico. (Se quiser mais precisão, pode-se aplicar Newton ou continuar a bisseção.)

Passo 6

Juntando tudo:
  • A exigência de positividade do argumento deu x>3.
  • Devemos excluir o ponto \alpha em (3,4) onde o argumento vale 1 (pois aí \ln(\cdot)=0 e o denominador se anula).
Portanto o domínio de f é
(3,\alpha)\cup(\alpha,\infty),
onde \alpha é a única raiz real de
x^{3}-2x^{2}-2x-4=0
no intervalo (3,4), com \alpha\approx 3{,}074.

Resposta

(3,\alpha)\cup(\alpha,\infty), onde \alpha é a única raiz real de \,x^{3}-2x^{2}-2x-4=0 em (3,4) ( \alpha\approx 3{,}074 ).

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