QUESTÃO 01 : Resolva as equações e as inequações abaixo.
\log _{\frac{1}{2}} x^{2}-2 \geq \log _{\frac{1}{2}} 3 x.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Enunciado: \log_{\frac{1}{2}} x^{2} - 2 \ge \log_{\frac{1}{2}} 3x.
  • Pergunta: resolver a inequação (achar todos os x reais que satisfazem essa desigualdade).
  • Informações relevantes que o enunciado dá (pegas do próprio enunciado):
    • O logaritmo tem base \frac{1}{2}.
    • Aparecem as expressões x^{2} e 3x como argumentos de logaritmo.
  • Observação importante (domínio): todo argumento de \log deve ser estritamente positivo, então há restrições nos x que podemos considerar (vou tratar disso no próximo passo).

Passo 2

Determinar o domínio da inequação (valores de x para os quais a expressão faz sentido).
  • O termo \log_{\frac{1}{2}} x^{2} exige x^{2}>0. Como x^{2}=0 apenas para x=0, isso dá que x\neq 0.
  • O termo \log_{\frac{1}{2}} 3x exige 3x>0, portanto x>0.
  • Combinando as duas condições temos o domínio da inequação: x>0.
Comentário rápido (importante para a técnica): a base do logaritmo é \frac{1}{2}, que satisfaz 0<\frac{1}{2}<1. Isso significa que a função f(t)=\log_{\frac{1}{2}} t é decrescente em t>0. Esse fato vai ser usado quando removermos os logaritmos: com base entre 0 e 1 a desigualdade entre logaritmos se inverte ao comparar os argumentos.

Passo 3

Manipular a desigualdade usando propriedades dos logaritmos para juntar os termos com logaritmo.
  • Lembrando uma propriedade básica de logaritmos: \log_{a} A - \log_{a} B = \log_{a}\!\left(\dfrac{A}{B}\right) sempre que A>0 e B>0.
  • Também sabemos que um número c pode ser escrito como logaritmo de uma potência da base: por exemplo 2 = \log_{\frac{1}{2}}\!\left(\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}\right),porque \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4} e \log_{\frac{1}{2}}\tfrac{1}{4}=2.
  • Usando isso, reescrevemos a desigualdade: \log_{\frac{1}{2}} x^{2} - 2 \ge \log_{\frac{1}{2}} 3x \quad\Longleftrightarrow\quad \log_{\frac{1}{2}} x^{2} - \log_{\frac{1}{2}}\!\left(\tfrac{1}{4}\right) \ge \log_{\frac{1}{2}} 3x.
  • Aplicando a propriedade da diferença: \log_{\frac{1}{2}}\!\left(\dfrac{x^{2}}{\tfrac{1}{4}}\right) \ge \log_{\frac{1}{2}} 3x.
  • Simplificando a fração dentro do logaritmo: \dfrac{x^{2}}{\tfrac{1}{4}} = 4x^{2},então obtemos \log_{\frac{1}{2}}(4x^{2}) \ge \log_{\frac{1}{2}}(3x).

Passo 4

Remover os logaritmos usando a monotonicidade da função logaritmo de base \frac{1}{2}.
  • Como observado no Passo 2, a função t\mapsto \log_{\frac{1}{2}} t é decrescente em t>0. Portanto, para A>0 e B>0, \log_{\frac{1}{2}} A \ge \log_{\frac{1}{2}} B \quad\Longleftrightarrow\quad A \le B.Note que a desigualdade entre A e B inverte por causa da base menor que 1.
  • Aplicando isso à desigualdade do passo anterior (e lembrando que estamos no domínio x>0, logo tanto 4x^{2}>0 quanto 3x>0), obtemos a inequação algébrica equivalente: 4x^{2} \le 3x.

Passo 5

Resolver a inequação algébrica 4x^{2} \le 3x com a restrição x>0.
  • Passo a passo: levar tudo para um lado: 4x^{2} - 3x \le 0.
  • Fatorar x em evidência: x(4x - 3) \le 0.
  • Agora fazemos a análise de sinais do produto x(4x-3). As raízes (pontos onde o produto é zero) são x=0 e x=\tfrac{3}{4}.
  • Num produto de dois fatores lineares, o produto é:
    • positivo para x<0 (não nos interessa, fora do domínio),
    • negativo entre as raízes 0<x<\tfrac{3}{4},
    • zero em x=0 e x=\tfrac{3}{4},
    • positivo para x>\tfrac{3}{4}.
  • Como queremos x(4x-3)\le 0, isso corresponde ao intervalo onde o produto é negativo ou zero, ou seja 0\le x \le \tfrac{3}{4}.
  • Mas lembrando o domínio obtido no Passo 2, temos x>0, e não podemos aceitar x=0. Portanto a solução final é 0 < x \le \tfrac{3}{4}.

Passo 6

Verificação rápida das extremidades (para segurança):
  • Para x=\tfrac{3}{4}: 4x^{2}=4\cdot\left(\tfrac{3}{4}\right)^{2}=4\cdot\tfrac{9}{16}=\tfrac{9}{4} e 3x=3\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{9}{4}. Então os dois lados dos logaritmos coincidem e a desigualdade é satisfeita (igualdade).
  • Para um x muito pequeno positivo, por exemplo x=0{,}1 (só como teste mental): 4x^{2}=0{,}04 e 3x=0{,}3; 4x^{2}<3x então a desigualdade é satisfeita, consistente com a solução.
  • Para x>\tfrac{3}{4}, por exemplo x=1: 4x^{2}=4 e 3x=3, então 4x^{2}>3x e, por causa da base \tfrac{1}{2} (log decrescente), a desigualdade original não se mantém — então esses x não pertencem à solução. Tudo coerente.

Resposta

0 < x \le \tfrac{3}{4}

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