QUESTÃO 01 : Resolva as equações e as inequações abaixo.
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Enunciado:
. - Pergunta: resolver a inequação (achar todos os
reais que satisfazem essa desigualdade). - Informações relevantes que o enunciado dá (pegas do próprio enunciado):
- O logaritmo tem base
. - Aparecem as expressões
e como argumentos de logaritmo.
- O logaritmo tem base
- Observação importante (domínio): todo argumento de
deve ser estritamente positivo, então há restrições nos que podemos considerar (vou tratar disso no próximo passo).
Passo 2
Determinar o domínio da inequação (valores de
para os quais a expressão faz sentido).
- O termo
exige . Como apenas para , isso dá que . - O termo
exige , portanto . - Combinando as duas condições temos o domínio da inequação:
.
Comentário rápido (importante para a técnica): a base do logaritmo é
, que satisfaz
. Isso significa que a função
é decrescente em
. Esse fato vai ser usado quando removermos os logaritmos: com base entre
e
a desigualdade entre logaritmos se inverte ao comparar os argumentos.
Passo 3
Manipular a desigualdade usando propriedades dos logaritmos para juntar os termos com logaritmo.
- Lembrando uma propriedade básica de logaritmos:
sempre que e . - Também sabemos que um número
pode ser escrito como logaritmo de uma potência da base: por exemplo porque e . - Usando isso, reescrevemos a desigualdade:
- Aplicando a propriedade da diferença:
- Simplificando a fração dentro do logaritmo:
então obtemos
Passo 4
Remover os logaritmos usando a monotonicidade da função logaritmo de base
.
- Como observado no Passo 2, a função
é decrescente em . Portanto, para e , Note que a desigualdade entre e inverte por causa da base menor que . - Aplicando isso à desigualdade do passo anterior (e lembrando que estamos no domínio
, logo tanto quanto ), obtemos a inequação algébrica equivalente:
Passo 5
Resolver a inequação algébrica
com a restrição
.
- Passo a passo: levar tudo para um lado:
- Fatorar
em evidência: - Agora fazemos a análise de sinais do produto
. As raízes (pontos onde o produto é zero) são e . - Num produto de dois fatores lineares, o produto é:
- positivo para
(não nos interessa, fora do domínio), - negativo entre as raízes
, - zero em
e , - positivo para
.
- positivo para
- Como queremos
, isso corresponde ao intervalo onde o produto é negativo ou zero, ou seja . - Mas lembrando o domínio obtido no Passo 2, temos
, e não podemos aceitar . Portanto a solução final é
Passo 6
Verificação rápida das extremidades (para segurança):
- Para
: e . Então os dois lados dos logaritmos coincidem e a desigualdade é satisfeita (igualdade). - Para um
muito pequeno positivo, por exemplo (só como teste mental): e ; então a desigualdade é satisfeita, consistente com a solução. - Para
, por exemplo : e , então e, por causa da base (log decrescente), a desigualdade original não se mantém — então esses não pertencem à solução. Tudo coerente.