Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais.
sigma(t)=(2 cos t, 3 sin t, 5), t in[0,2 pi].

Passo 1

O enunciado pede para fazer um esboço da curva definida pela função vetorial sigma(t) = (2 cos t, 3 sin t, 5), onde t varia de 0 a 2pi. Vamos usar conceitos de funções paramétricas e geometria no espaço tridimensional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada componente da função sigma(t). Ela está dividida em três partes:
  • x(t) = 2 cos t
  • y(t) = 3 sin t
  • z(t) = 5

Passo 3

Observamos que a componente z(t) é sempre igual a 5, independente do valor de t. Isso significa que todos os pontos da curva estarão no plano horizontal z = 5.

Passo 4

Agora, vamos focar nas componentes x(t) e y(t). Elas são funções de seno e cosseno, que normalmente descrevem círculos quando têm o mesmo coeficiente. Mas aqui, temos diferentes coeficientes:
  • O coeficiente de cos t em x(t) é 2.
  • O coeficiente de sin t em y(t) é 3.

Passo 5

Esses diferentes coeficientes indicam que, em vez de um círculo, a curva será uma elipse. A elipse terá semi-eixos de comprimento 2 na direção do eixo x e 3 na direção do eixo y.

Resposta

A curva é uma elipse com semi-eixos de 2 unidades no eixo x e 3 unidades no eixo y, localizada no plano z = 5.

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