Seja F um corpo.
Seja p(x)=an x^n+an-1 x^n-1+ldots+a1 x+a0. Prove que a função phi0: F[x] F definida por phi0(p(x))=a0 é um homomorfismo.
Determine o núcleo de phi0.
Usando o Teorema Fundamental do Homomorfismo, conclua que F[x]lang<= xrang<= approx F

Passo 1

No exercício trabalhamos com o anel de polinômios F[x] sobre um corpo F. Definimos a aplicação phi0:F[x]to F que envia cada polinômio p(x)=anx^n+cdots+a1x+a0 ao seu coeficiente constante a0. Para resolver, vamos usar definição de homomorfismo de anéis e o Teorema Fundamental do Homomorfismo.

Passo 2

Para ver que phi0 é homomorfismo, confira que para p(x)=anx^n+cdots+a0 e q(x)=bmx^m+cdots+b0 vale
phi0(p+q)=a0+b0=phi0(p)+phi0(q),
e
phi0(pcdot q)=(termo constante de pcdot q)=a0,b0=phi0(p),phi0(q)
Além disso, phi0(1)=1. Logo é homomorfismo de anéis.

Passo 3

O núcleo de phi0 é o conjunto
ker(phi0)=p(x)in F[x]:phi0(p)=0;= p(x):p(0)=0,
que são exatamente os polinômios de coeficiente constante zero, ou seja, múltiplos de x. Assim
ker(phi0)=xF[x]=lang<= xrang<=

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Homomorfismo temos
F[x]/ker(phi0);cong;im(phi0)
Mas phi0 atinge todo elemento de F (basta escolher o polinômio constante), logo im(phi0)=F. Portanto
F[x]lang<= xrang<=cong F

Resposta

ker(phi0)=lang<= xrang<= e F[x]/lang<= xrang<=cong F.

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