Seja
um corpo.
Seja
. Prove que a função
definida por
é um homomorfismo.
Determine o núcleo de
.
Usando o Teorema Fundamental do Homomorfismo, conclua que
Seja
Determine o núcleo de
Usando o Teorema Fundamental do Homomorfismo, conclua que
Passo 1
No exercício trabalhamos com o anel de polinômios F[x] sobre um corpo F. Definimos a aplicação
que envia cada polinômio
ao seu coeficiente constante
. Para resolver, vamos usar definição de homomorfismo de anéis e o Teorema Fundamental do Homomorfismo.
Passo 2
Para ver que
é homomorfismo, confira que para
e
vale
e
Além disso,
. Logo é homomorfismo de anéis.
Passo 3
O núcleo de
é o conjunto
que são exatamente os polinômios de coeficiente constante zero, ou seja, múltiplos de
. Assim
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental do Homomorfismo temos
Mas
atinge todo elemento de
(basta escolher o polinômio constante), logo
. Portanto