Seja
um corpo.
Prove que
é um ideal de
.
Prove que
Passo 1
No enunciado, temos o corpo F e o anel de polinômios F[x]. Precisamos provar que
é um ideal de F[x]. Vamos usar a definição: um subconjunto I de um anel R é ideal se (i) não é vazio, (ii) para quaisquer a,b em I vale a−b em I, e (iii) para qualquer r em R e a em I vale r⋅a em I.
Passo 2
Mostramos que I não é vazio. Como 0 em F[x], temos
portanto I contém o elemento neutro aditivo e não é vazio.
Passo 3
Verificamos a fechadura sob diferença. Sejam f(x)=x p(x) e g(x)=x q(x) em I, com p(x),q(x) em F[x]. Então
Como p(x)−q(x) pertence a F[x], segue que f(x)−g(x) está em I.
Passo 4
Verificamos a multiplicação externa. Seja r(x) um polinômio arbitrário em F[x] e f(x)=x p(x) em I. Então
Como r(x)⋅p(x) pertence a F[x], concluímos que r(x)⋅f(x) está em I.
Resposta
Portanto,
satisfaz todas as propriedades de ideal e é um ideal de
.