Seja F um corpo.
Prove que lang<= xrang<==x p(x) ; p(x) in F[x] é um ideal de F[x].

Passo 1

No enunciado, temos o corpo F e o anel de polinômios F[x]. Precisamos provar que
I=lang<= xrang<==x,p(x)mid p(x)in F[x]
é um ideal de F[x]. Vamos usar a definição: um subconjunto I de um anel R é ideal se (i) não é vazio, (ii) para quaisquer a,b em I vale a−b em I, e (iii) para qualquer r em R e a em I vale r⋅a em I.

Passo 2

Mostramos que I não é vazio. Como 0 em F[x], temos
0 = xcdot0in I,
portanto I contém o elemento neutro aditivo e não é vazio.

Passo 3

Verificamos a fechadura sob diferença. Sejam f(x)=x p(x) e g(x)=x q(x) em I, com p(x),q(x) em F[x]. Então
f(x)-g(x)=x p(x)-x q(x)=xl(p(x)-q(x)r)
Como p(x)−q(x) pertence a F[x], segue que f(x)−g(x) está em I.

Passo 4

Verificamos a multiplicação externa. Seja r(x) um polinômio arbitrário em F[x] e f(x)=x p(x) em I. Então
r(x)cdot f(x)=r(x)cdotl(x p(x)r)=xl(r(x),p(x)r)
Como r(x)⋅p(x) pertence a F[x], concluímos que r(x)⋅f(x) está em I.

Resposta

Portanto, lang<= xrang<= satisfaz todas as propriedades de ideal e é um ideal de F[x].

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