Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
Passo 1
O enunciado pede: “Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.” A função dada e os níveis são:
Níveis pedidos:
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- A superfície de nível para um valor
é o conjunto . - Aqui a função depende só de
e , ou seja, a coordenada não aparece em .
Passo 2
O que é uma superfície de nível (explicação didática): para uma função
e um número
, a superfície de nível
é formada por todos os pontos no espaço onde
toma esse valor. Um jeito prático de desenhar é:
- primeiro encontrar a curva no plano
dada por com desaparecido (ou seja, fixar qualquer e ver a condição entre e ); - depois lembrar que, se a equação não envolve
, essa curva no plano se estende para cima e para baixo ao longo do eixo , formando uma “superfície cilíndrica” paralela ao eixo .
Passo 3
Escrever a equação geral das superfícies de nível: queremos resolver
Essa é uma equação só entre
e
. A variável
é livre — isto é, qualquer valor de
serve desde que
e
satisfaçam
. Uma parametrização útil (quando
) é:
Isso mostra claramente que para cada ponto
na curva do plano
existe uma reta vertical inteira (valores de
) formando a superfície.
Passo 4
Caso
(detalhado e didático): a equação fica
Para um produto ser zero, pelo menos um dos fatores é zero, logo
Portanto a superfície de nível
é a união das duas planas:
- a
plano , que é o plano (contendo o eixo e o eixo ); - e o plano
, que é o plano (contendo o eixo e o eixo ).
Para esboçar: desenhe os dois planos perpendiculares que se cruzam ao longo do eixo.
Passo 5
Caso
(passo a passo para desenhar): a equação no plano
é
Isso é a hipérbole retangular no plano
. Características importantes e como desenhar:
- Tem duas ramificações: uma em
quadrante I) (onde ) e outra em quadrante III) (onde ). - Não intersecta os eixos
ou porque e não podem ser zero. - Alguns pontos concretos para marcar no esboço do plano
: , , , e seus simétricos . - Em 3D, cada ponto dessa curva gera uma reta vertical (todas as
), então a superfície é uma “cilindro hiperbólico” paralelo ao eixo . No esboço, desenhe a hipérbole no plano e trace linhas verticais por cima dela para indicar a superfície.
Passo 6
Caso
(comparação com
e esboço): a equação no plano
é
Também é uma hipérbole com as mesmas qualidades (duas ramificações em quadrantes I e III). Observações úteis:
- Para o mesmo
, é maior quando é maior. Por exemplo, em temos para e para . Portanto a hipérbole de fica “mais afastada” do eixo, comparada à de . - Pontos concretos para marcar:
, , e os simétricos negativos. - Novamente, em 3D a curva gera uma superfície obtida por extrusão vertical — outra cilindro hiperbólico paralelo ao eixo
.
Passo 7
Dicas práticas para o esboço (como desenhar rápido na prova):
- Primeiro trace os três eixos
com o apontando para cima. - Para
: desenhe os planos e (duas folhas perpendiculares) intersectando-se ao longo do eixo . - Para
e : no plano desenhe as hipérboles e . Marque alguns pontos (como e ) para ajudar a forma. Depois desenhe linhas verticais (paralelas a ) passando por essas curvas para indicar a superfície. - Use setas para indicar que a superfície se estende indefinidamente em
. - Lembre-se de que as hipérboles não cruzam os eixos
e .
Passo 8
Resumo geométrico rápido (para memorizar):
- Se a superfície de nível não depende de
, ela é um cilindro (no sentido de ser gerada por uma curva no plano estendida ao longo de ). -
dá hipérboles no plano quando e planos coordenados quando . - Para comparar: quanto maior
, mais “longe” do eixo está a hipérbole.