Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
f(x, y, z)=x y, c=0,1,2

Passo 1

O enunciado pede: “Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.” A função dada e os níveis são:
f(x,y,z)=x y
Níveis pedidos: \,c=0,\;c=1,\;c=2.
Informações relevantes do enunciado:
  • A superfície de nível para um valor \,c é o conjunto \{(x,y,z)\in\mathbb R^3 \mid f(x,y,z)=c\}.
  • Aqui a função depende só de x e y, ou seja, a coordenada z não aparece em f.

Passo 2

O que é uma superfície de nível (explicação didática): para uma função f(x,y,z) e um número \,c, a superfície de nível \{f=c\} é formada por todos os pontos no espaço onde f toma esse valor. Um jeito prático de desenhar é:
  • primeiro encontrar a curva no plano xy dada por f(x,y,z)=c com z desaparecido (ou seja, fixar z qualquer e ver a condição entre x e y);
  • depois lembrar que, se a equação não envolve z, essa curva no plano xy se estende para cima e para baixo ao longo do eixo z, formando uma “superfície cilíndrica” paralela ao eixo z.

Passo 3

Escrever a equação geral das superfícies de nível: queremos resolver
x y = c.
Essa é uma equação só entre x e y. A variável z é livre — isto é, qualquer valor de z serve desde que x e y satisfaçam x y=c. Uma parametrização útil (quando c\neq0) é:
(x,y,z) = \bigl(t,\; \tfrac{c}{t},\; s\bigr),\quad t\in\mathbb R\setminus\{0\},\; s\in\mathbb R.
Isso mostra claramente que para cada ponto (t,c/t) na curva do plano xy existe uma reta vertical inteira (valores de s) formando a superfície.

Passo 4

Caso \,c=0 (detalhado e didático): a equação fica
x y = 0.
Para um produto ser zero, pelo menos um dos fatores é zero, logo
x=0\quad\text{ou}\quad y=0.
Portanto a superfície de nível \{x y=0\} é a união das duas planas:
  • a plano \{x=0\}, que é o plano yz (contendo o eixo z e o eixo y);
  • e o plano \{y=0\}, que é o plano xz (contendo o eixo z e o eixo x).
    Para esboçar: desenhe os dois planos perpendiculares que se cruzam ao longo do eixo z.

Passo 5

Caso \,c=1 (passo a passo para desenhar): a equação no plano xy é
y=\tfrac{1}{x},\quad x\neq0.
Isso é a hipérbole retangular no plano xy. Características importantes e como desenhar:
  • Tem duas ramificações: uma em quadrante I) (onde x>0,y>0) e outra em quadrante III) (onde x<0,y<0).
  • Não intersecta os eixos x ou y porque x e y não podem ser zero.
  • Alguns pontos concretos para marcar no esboço do plano xy: (1,1), (2,1/2), (1/2,2), e seus simétricos (-1,-1),(-2,-1/2),(-1/2,-2).
  • Em 3D, cada ponto dessa curva gera uma reta vertical (todas as z), então a superfície é uma “cilindro hiperbólico” paralelo ao eixo z. No esboço, desenhe a hipérbole no plano z=0 e trace linhas verticais por cima dela para indicar a superfície.

Passo 6

Caso \,c=2 (comparação com c=1 e esboço): a equação no plano xy é
y=\tfrac{2}{x},\quad x\neq0.
Também é uma hipérbole com as mesmas qualidades (duas ramificações em quadrantes I e III). Observações úteis:
  • Para o mesmo x>0, y é maior quando c é maior. Por exemplo, em x=1 temos y=1 para c=1 e y=2 para c=2. Portanto a hipérbole de c=2 fica “mais afastada” do eixo, comparada à de c=1.
  • Pontos concretos para marcar: (1,2), (2,1), (\tfrac12,4) e os simétricos negativos.
  • Novamente, em 3D a curva gera uma superfície obtida por extrusão vertical — outra cilindro hiperbólico paralelo ao eixo z.

Passo 7

Dicas práticas para o esboço (como desenhar rápido na prova):
  • Primeiro trace os três eixos \,x,y,z com o z apontando para cima.
  • Para \,c=0: desenhe os planos x=0 e y=0 (duas folhas perpendiculares) intersectando-se ao longo do eixo z.
  • Para \,c=1 e \,c=2: no plano z=0 desenhe as hipérboles y=1/x e y=2/x. Marque alguns pontos (como (1,1),(2,1/2) e (1,2),(2,1)) para ajudar a forma. Depois desenhe linhas verticais (paralelas a z) passando por essas curvas para indicar a superfície.
  • Use setas para indicar que a superfície se estende indefinidamente em z.
  • Lembre-se de que as hipérboles não cruzam os eixos x e y.

Passo 8

Resumo geométrico rápido (para memorizar):
  • Se a superfície de nível não depende de z, ela é um cilindro (no sentido de ser gerada por uma curva no plano xy estendida ao longo de z).
  • \,xy=c dá hipérboles no plano xy quando c\neq0 e planos coordenados quando c=0.
  • Para comparar: quanto maior |c|, mais “longe” do eixo está a hipérbole.

Resposta

c=0: união dos planos \{x=0\} e \{y=0\} (planos yz e xz).
c=1: cilindro hiperbólico obtido por extrusão vertical da hipérbole y=\tfrac{1}{x} (ramificações em quadrantes I e III).
c=2: cilindro hiperbólico obtido por extrusão vertical da hipérbole y=\tfrac{2}{x} (ramificações em quadrantes I e III, mais afastada do origem que c=1).

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