Faça um esboço e determine a área da região finita limitada pelas seguintes curvas: y=x^3-4 x e y=5 x, para x >= 0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para esboçar e determinar a área da região limitada pelas curvas $ y = x^{3} - 4x $ e $ y = 5x $ para $ x \geq 0 $. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo integral e saber como encontrar os pontos de interseção dessas curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram, ou seja, onde $ x^{3} - 4x = 5x $. Vamos resolver essa equação:
x^3 - 4x = 5x
x^3 - 4x - 5x = 0
x^3 - 9x = 0
x(x^2 - 9) = 0
x = 0 ou x^2 - 9 = 0
Como estamos considerando $ x \geq 0 $, os pontos de interseção relevantes são $ x = 0 $ e $ x = 3 $.

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, precisamos determinar qual delas está acima da outra nesse intervalo de $ x $ para configurar corretamente a integral que nos dará a área.
Vamos testar com um valor entre 0 e 3, por exemplo, $ x = 1 $:
x
x = 1
Como $ y_{2} > y_{1} $, a curva $ y = 5x $ está acima de $ y = x^{3} - 4x $ nesse intervalo.

Passo 4

Para encontrar a área entre as curvas, vamos calcular a integral da diferença entre as funções superiores e inferiores no intervalo de integração encontrado.
A fórmula para a área $ A $ é:
A
Substituindo as funções e os limites:
A = integrala^b (ysuperior - yinferior) , dx
A = integral0^3 (5x - (x^3 - 4x)) , dx
A = integral0^3 (5x - x^3 + 4x) , dx

Passo 5

Vamos agora calcular a integral:
A = integral0^3 (-x^3 + 9x) , dx
A = [ -x^44 + 9x^22 ]0^3
A = ( -3^44 + 9(3)^22 ) - ( -0^44 + 9(0)^22 )
A = ( -814 + 812 ) - (0)
A = -814 + 1624
A = 814

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é $ \frac{81}{4} $ unidades de área.

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