Faça um esboço e determine a área da região finita limitada pelas seguintes curvas:
e
, para
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para esboçar e determinar a área da região limitada pelas curvas $ y = x^{3} - 4x $ e $ y = 5x $ para $ x \geq 0 $. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo integral e saber como encontrar os pontos de interseção dessas curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram, ou seja, onde $ x^{3} - 4x = 5x $. Vamos resolver essa equação:
Como estamos considerando $ x \geq 0 $, os pontos de interseção relevantes são $ x = 0 $ e $ x = 3 $.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, precisamos determinar qual delas está acima da outra nesse intervalo de $ x $ para configurar corretamente a integral que nos dará a área.
Vamos testar com um valor entre 0 e 3, por exemplo, $ x = 1 $:
Como $ y_{2} > y_{1} $, a curva $ y = 5x $ está acima de $ y = x^{3} - 4x $ nesse intervalo.
Passo 4
Para encontrar a área entre as curvas, vamos calcular a integral da diferença entre as funções superiores e inferiores no intervalo de integração encontrado.
A fórmula para a área $ A $ é:
Substituindo as funções e os limites:
Passo 5
Vamos agora calcular a integral:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é $ \frac{81}{4} $ unidades de área.