Indique o valor do integral interpretando-o em termos de áreas.
(a) integral1^3(1+2 x) d x
© integral-3^0(1+raiz9-x^2) d x
(e) integral-2^2(1-|x|) d x
(b) integral-2^2 raiz4-x^2 d x
(d) integral-1^3(2-x) d x
(f) integral0^3|3 x-5| d x

Passo 1

O exercício pede para calcular várias integrais definidas interpretando cada uma como área sob (ou acima e abaixo) do eixo x. O conteúdo envolve cálculo de áreas de trapézios, triângulos, semicírculos, setores de círculos e funções valor absoluto. Vamos usar que
integrala^b f(x),dx corresponde à área acima do eixo x menos a área abaixo do eixo x, dividindo o intervalo em partes quando necessário.

Passo 2

Para (a), temos f(x)=1+2x no intervalo [1,3], que fica sempre acima do eixo x. Geometricamente é um trapézio de base 3-1=2 e alturas f(1)=3 e f(3)=7. Assim,
integral1^3(1+2x),dx = (f(1)+f(3)),(3-1)2 = (3+7)cdot22 = 10

Passo 3

Para (b), f(x)=raiz4-x^2 em [-2,2] é a metade superior de um círculo de raio 2. A área desse semicírculo é
12pi,2^2 = 2pi

Passo 4

Para ©, separamos
integral-3^0l(1+raiz9-x^2r),dx = integral-3^01,dx + integral-3^0raiz9-x^2,dx
A primeira parte vale 0-(-3)=3. A segunda é um quarto de círculo de raio 3 (metade superior em [-3,3], só que em [-3,0]), cuja área é
14pi,3^2 = 9pi4
Somando,
3 + 9pi4

Passo 5

Para (d), f(x)=2-x em [-1,3]. A reta cruza o eixo x em x=2. Em [-1,2] a função está acima do eixo, formando um trapézio de base 2-(-1)=3 e alturas f(-1)=3, f(2)=0, área 3(3+0)2=92. Em [2,3] está abaixo, formando um triângulo de base 1 e altura |f(3)|=1, área 1cdot12=12. Logo,
integral-1^3(2-x),dx = 92 - 12 = 4

Passo 6

Para (e), f(x)=1-|x| em [-2,2]. Entre -1 e 1 está acima do eixo, formando um triângulo de base 2 e altura 1, área 1. Em [-2,-1] e em [1,2] está abaixo, cada parte é um triângulo de base 1 e altura 1, área tfrac12 cada. Logo
integral-2^2(1-|x|),dx = 1 - tfrac12 - tfrac12 = 0

Passo 7

Para (f), f(x)=|3x-5| em [0,3]. O zero ocorre em 3x-5=0, ou seja, x=5/3. Então divimos em:
integral0^5/3(5-3x),dx + integral5/3^3(3x-5),dx
Calculando,
integral0^5/3(5-3x),dx = l[5x - tfrac32x^2r]0^5/3 = 256,
integral5/3^3(3x-5),dx = l[tfrac32x^2 - 5xr]5/3^3 = 83
Somando ambas as partes dá 256 + 83 = 416.

Resposta

a) 10; b) 2\pi; c) 3 + \frac{9\pi}{4}; d) 4; e) 0; f) \frac{41}{6}

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