Indique o valor do integral interpretando-o em termos de áreas.
(a)
©
(e)
(b)
(d)
(f)
(a)
©
(e)
(b)
(d)
(f)
Passo 1
O exercício pede para calcular várias integrais definidas interpretando cada uma como área sob (ou acima e abaixo) do eixo x. O conteúdo envolve cálculo de áreas de trapézios, triângulos, semicírculos, setores de círculos e funções valor absoluto. Vamos usar que
corresponde à área acima do eixo x menos a área abaixo do eixo x, dividindo o intervalo em partes quando necessário.
Passo 2
Para (a), temos
no intervalo
, que fica sempre acima do eixo x. Geometricamente é um trapézio de base
e alturas
e
. Assim,
Passo 3
Para (b),
em
é a metade superior de um círculo de raio 2. A área desse semicírculo é
Passo 4
Para ©, separamos
A primeira parte vale
. A segunda é um quarto de círculo de raio 3 (metade superior em
, só que em
), cuja área é
Somando,
Passo 5
Para (d),
em
. A reta cruza o eixo x em
. Em
a função está acima do eixo, formando um trapézio de base
e alturas
,
, área
. Em
está abaixo, formando um triângulo de base
e altura
, área
. Logo,
Passo 6
Para (e),
em
. Entre
e
está acima do eixo, formando um triângulo de base 2 e altura 1, área 1. Em
e em
está abaixo, cada parte é um triângulo de base 1 e altura 1, área
cada. Logo
Passo 7
Para (f),
em
. O zero ocorre em
, ou seja,
. Então divimos em:
Calculando,
Somando ambas as partes dá
.
Resposta
a) 10; b) 2\pi; c) 3 + \frac{9\pi}{4}; d) 4; e) 0; f) \frac{41}{6}