Mostre que:
integral1^4 e^xraizx d x=2 integral1^2 e^y^2 d y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral integral1^4 e^xraizx,dx = 2integral1^2 e^y^2,dyusa o método de substituição em integrais. Vamos precisar reconhecer que a raiz de x sugere uma substituição do tipo x=y^2.

Passo 2

Fazendo a substituição x=y^2, temos:
dx = 2y,dy,
e também
raizx = raizy^2 = y (y>0)

Passo 3

Precisamos trocar os limites de integração: quando x=1, y=1; quando x=4, y=2. Substituindo na integral original:
integral1^4 e^xraizx,dx = integraly=1^y=2 e^y^2y cdot (2y),dy

Passo 4

No integrando, o y do denominador cancela com o y do diferencial, restando:
integral1^2 2e^y^2,dy = 2 integral1^2 e^y^2,dy,
que é exatamente o que queríamos mostrar.

Resposta

2 \int_{1}^{2} e{y{2}},dy

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