lim x +infty ln (8 x)x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto+inftyln(8x)x^2. O conteúdo principal é limites no infinito e hierarquia de crescimento de funções (logaritmo vs. polinômio). Vamos usar a regra de l’Hôpital, que exige saber derivar logaritmos e potências.

Passo 2

Ao examinarmos o comportamento quando xto+infty, vemos que ln(8x)to+infty e x^2to+infty. Isso gera uma forma indeterminada inftyinfty, permitindo aplicar a regra de l’Hôpital.

Passo 3

Pela regra de l’Hôpital, derivamos numerador e denominador separadamente. A derivada de ln(8x) é 1x (pois ddxln(8x)=18xcdot8). A derivada de x^2 é 2x. Assim, nosso limite vira
limxto+inftyln(8x)x^2=limxto+infty1/x2x

Passo 4

Simplificando a fração, temos
1/x2x=12x^2

Passo 5

À medida que xto+infty, o denominador 2x^2 cresce sem limite, então a fração 12x^2 tende a zero. Portanto, o limite pedido é zero.

Resposta

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