Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
. O conteúdo principal é limites no infinito e hierarquia de crescimento de funções (logaritmo vs. polinômio). Vamos usar a regra de l’Hôpital, que exige saber derivar logaritmos e potências.
Passo 2
Ao examinarmos o comportamento quando
, vemos que
e
. Isso gera uma forma indeterminada
, permitindo aplicar a regra de l’Hôpital.
Passo 3
Pela regra de l’Hôpital, derivamos numerador e denominador separadamente. A derivada de
é
(pois
). A derivada de
é
. Assim, nosso limite vira
Passo 4
Simplificando a fração, temos
Passo 5
À medida que
, o denominador
cresce sem limite, então a fração
tende a zero. Portanto, o limite pedido é zero.
Resposta
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