Faça o esboço do gráfico de cada função.
f(x)=ln |x|.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=lnlvert xrvert
O conteúdo é interpretação de gráficos de funções logarítmicas e uso de transformações (valor absoluto e reflexão). Vamos precisar:
  • Determinar domínio e ramos da função.
  • Reconhecer verticalmente as­síntota em x=0.
  • Esboçar o ramo para x>0 e refletir para x<0.

Passo 2

Identificamos o domínio e escrevemos a função de forma piecewise:
Domínio: xin Rmid xneq0 í
Para x>0, lvert xrvert=x e
f(x)=ln x(x>0)
Para x<0, lvert xrvert=-x e
f(x)=ln(-x)(x<0)

Passo 3

Analisando o ramo y=ln x em x>0:
  • Domínio (0,infty).
  • Verticalmente tem assíntota em x=0, pois limxto0^+ln x=-infty.
  • Cresce lentamente para +infty: limxto+inftyln x=+infty.
  • Intercepto em (1,0); por exemplo, ln e=1, ln(1/e)=-1.

Passo 4

Analisando o ramo y=ln(-x) em x<0:
  • Domínio (-infty,0).
  • Mesma assíntota vertical em x=0, pois limxto0^-ln(-x)=-infty.
  • Cresce para +infty quando xto-infty: limxto-inftyln(-x)=+infty.
  • Intercepto em (-1,0) e ponto (-e,1), analogamente ao ramo direito.
  • É o reflexo do gráfico de ln x em relação ao eixo y, porque ln|x| é função par.

Passo 5

Unindo os dois ramos, obtemos:
  • Dois “braços” idênticos de curva logarítmica, um em x>0 e outro em x<0.
  • Assíntota vertical em x=0.
  • Cruzam o eixo x em (1,0) e (-1,0).
  • Crescem sem limite quando lvert xrverttoinfty, e vão a -infty quando lvert xrvertto0.

Resposta

O gráfico de ;f(x)=lnlvert xrvert; consiste em dois ramos de logaritmo natural, simétricos em relação ao eixo y, com assíntota vertical em x=0, cruzando o eixo x em (1,0) e (-1,0).

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