M. 103 Calcular:
lim x -infty(1+3x)^x4=

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto -inftyl(1+3xr)^x4
O conteúdo é “limite do tipo 1^infty”, e vamos usar a transformação pelo logaritmo para converter em um limite de forma indeterminada de tipo “ inftycdot0” e, em seguida, aplicar uma expansão de série de Taylor de ln(1+u).

Passo 2

Defina
L = limxto -inftyl(1+3xr)^x4
Então
ln L = limxto -inftyx4,lnl(1+3xr)
Como xto -infty, temos u=3/xto0 e a expansão
ln(1+u)=u-u^22+o(u^2)
Substituindo u=3/x:
lnl(1+3xr) =3x-12l(3xr)^2+ol(1x^2r)
Multiplicando por x/4:
x4,lnl(1+3xr) =x4l(3x-92x^2+o(tfrac1x^2)r) =34+o(1)
Logo
ln L = 34

Passo 3

Voltando da transformação logarítmica, temos
L = e^ln L = e^34

Resposta

e^tfrac34

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