Resolver as seguintes integrais
integral d xx(x^2-a^2), a>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função
integral dxxl(x^2-a^2r),
sendo a>0. Aqui vamos usar o método de decomposição em frações parciais, que é padrão para integrais de funções racionais onde o denominador se fatoriza em polinômios lineares.

Passo 2

Começamos escrevendo a decomposição em frações parciais:
1x,(x-a),(x+a) =Ax+Bx-a+Cx+a
Multiplicando ambos os lados por x(x-a)(x+a), obtemos a identidade
1 = Al(x^2-a^2r) + B,x,(x+a) + C,x,(x - a)

Passo 3

Para determinar A, B e C, escolhemos valores convenientes de x:
- Em x=0:
1 = A,(0 - a^2) ;Longrightarrow; A = -1a^2
- Em x=a:
1 = B;a,(a+a) = 2a^2B ;Longrightarrow; B = 12a^2
- Em x=-a:
1 = C,(-a),(-a - a) = 2a^2C ;Longrightarrow; C = 12a^2
Logo,
1x(x^2-a^2) =-1a^2;1x +12a^2;1x-a +12a^2;1x+a

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral dxx(x^2-a^2) =-1a^2integral dxx +12a^2integral dxx-a +12a^2integral dxx+a
Isso dá
-1a^2lnlvert xrvert +12a^2lnlvert x-arvert +12a^2lnlvert x+arvert + C

Passo 5

Para simplificar, agrupamos os logaritmos:
F(x) =12a^2l[lnlvert x-arvert+lnlvert x+arvert-2lnlvert xrvertr]+C =12a^2lnllvertx^2-a^2x^2rrvert + C

Resposta

boxedintegral dxx(x^2-a^2) =12a^2lnllvertx^2-a^2x^2rrvert + C

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