Utilize propriedades dos expoentes para reescrever e simplificar a expressão dada
\frac{x^{2 n} x^{3 n-1}}{x^{n+2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão a ser simplificada e pede que se usem propriedades de expoentes:
\frac{x^{2n} x^{3n-1}}{x^{n+2}}.
Informações fornecidas:
  • A expressão envolve potências de mesma base x com expoentes que dependem de n.
  • O objetivo é reescrever e simplificar usando propriedades de expoentes (sem mais informações adicionais).

Passo 2

Relembrando as regras de expoentes que vamos usar (explicadas com calma):
  • Regra do produto de potências de mesma base: se x é uma base e a,b são expoentes, então
x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}.
Aqui x é a mesma base em ambos os fatores; a e b são os expoentes que somamos. Exemplo numérico simples: x^{2}\cdot x^{3}=x^{2+3}=x^{5}.
  • Regra da divisão de potências de mesma base: se x\neq0 e a,b são expoentes, então
\frac{x^{a}}{x^{b}}=x^{a-b}.
Novamente x é a mesma base; subtrai-se o expoente do denominador do expoente do numerador. Exemplo: \dfrac{x^{5}}{x^{2}}=x^{5-2}=x^{3}.
Observação importante: para aplicar a divisão de potências assumimos x\neq0 (pois divisão por zero não faz sentido). Vou manter essa hipótese x\neq0.

Passo 3

Aplicar a regra do produto ao numerador x^{2n} x^{3n-1}: como ambas as potências têm a mesma base x, somamos os expoentes.
x^{2n}\cdot x^{3n-1}=x^{(2n)+(3n-1)}.

Passo 4

Calcular a soma dos expoentes no numerador:
(2n)+(3n-1)=2n+3n-1=5n-1.
Portanto o numerador simplificado é
x^{5n-1}.

Passo 5

Agora substituir o numerador simplificado na fração e aplicar a regra da divisão de potências:
\frac{x^{5n-1}}{x^{n+2}}=x^{(5n-1)-(n+2)}.
Aqui subtrai-se o expoente do denominador do expoente do numerador.

Passo 6

Fazer a subtração dos expoentes:
(5n-1)-(n+2)=5n-1-n-2=4n-3.
Logo a expressão fica
x^{4n-3},
com a ressalva x\neq0 para que a divisão original seja válida.

Passo 7

Verificação rápida com um exemplo numérico para ganhar confiança (não faz falta na prova, é só para checar): tomar n=2 e x qualquer não nulo. Originalmente
\frac{x^{2\cdot2}\,x^{3\cdot2-1}}{x^{2+2}}=\frac{x^{4}\,x^{5}}{x^{4}}=\frac{x^{9}}{x^{4}}=x^{5},
e a fórmula obtida dá x^{4\cdot2-3}=x^{8-3}=x^{5}. Confere.

Resposta

x^{4n-3}

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