Faça um esboço gráfico de cada uma das funções dadas. Tente usar apenas o que se conhece do gráfico das funções exponenciais conhecidas.
y=e^{|x|}

Passo 1

O enunciado pede que eu faça um esboço do gráfico da função \;y=e^{|x|}\;.
Informações dadas (apenas aquilo que aparece no enunciado):
  • A função é \;y=e^{|x|}\;.
  • Não há figuras adicionais.
    O objetivo é desenhar (esboçar) o gráfico usando conhecimento do gráfico das exponenciais conhecidas.

Passo 2

Relembrando o gráfico básico que vou usar como referência: a função \;y=e^{x}\;.
  • Domínio: \;(-\infty,\infty)\;.
  • Imagem (valores possíveis): \;(0,\infty)\;.
  • Intercepto: \;e^{0}=1\; então passa por (0,1).
  • Comportamento: é crescente; \lim_{x\to\infty}e^{x}=\infty e \lim_{x\to-\infty}e^{x}=0.
    Essas propriedades são o que vou usar para construir o gráfico de \;y=e^{|x|}\;.

Passo 3

Entendendo a função com valor absoluto: escrever |x| de forma peça-a-peça:
|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\[4pt] -x, & x<0. \end{cases}
Portanto a função pode ser escrita em duas peças:
y=e^{|x|}=\begin{cases} e^{x}, & x\ge 0,\\[4pt] e^{-x}, & x<0. \end{cases}
Ainda não desenhei nada; apenas transformei a função em duas expressões que conhecemos.]

Passo 4

Análise da parte para x\ge 0:
  • Para x\ge 0 temos \;y=e^{x}\;, ou seja, exatamente a exponencial padrão no semieixo direito.
  • Pontos importantes: (0,1), (1,e), (2,e^{2}).
  • Comportamento: é crescente neste intervalo e tende a \infty quando x\to\infty.

Passo 5

Análise da parte para x<0:
  • Para x<0 temos \;y=e^{-x}\;. Se fizermos a mudança de variável u=-x (então u>0), obtemos y=e^{u}. Isso mostra que a parte à esquerda é a mesma curva exponencial que conhecemos no semieixo positivo, só que parametrizada por -x.
  • Conclusão prática: a parte para x<0 é o espelho, em relação ao eixo y, da parte para x>0.
  • Pontos importantes: (-1,e), (-2,e^{2}).
  • Comportamento: quando x\to-\infty, |x|\to\infty então y=e^{|x|}\to\infty.

Passo 6

Propriedades globais e simetria:
  • A função é par (simétrica em relação ao eixo y), porque \;e^{|{-x}|}=e^{|x|}\; e logo f(-x)=f(x).
  • Valor mínimo: em x=0 temos \;y=e^{0}=1\;. Como em ambas as pontas y\to\infty, esse é o mínimo global: (0,1).
  • Limites: \displaystyle \lim_{x\to\pm\infty} e^{|x|}=\infty.
  • Assíntotas: não há assíntotas horizontais nem verticais; o gráfico sobe exponencialmente para ambos os lados.

Passo 7

Derivabilidade e formato no vértice:
  • Derivada peça-a-peça (quando x\neq0\)): \[f'(x)=\begin{cases} e^{x}, & x>0,\\[4pt] -\,e^{-x}, & x<0. \end{cases}
  • Portanto para x<0\] a derivada é negativa (a curva decresce quando andamos no sentido crescente de \(x até 0) e para x>0 a derivada é positiva (a curva cresce).
  • Limites das derivadas em 0: \displaystyle f'_-(0)=-1 e \displaystyle f'_+(0)=1. Como as derivadas laterais são diferentes, a função NÃO é diferenciável em x=0. No esboço isso aparece como um mínimo “pontudo” (canto) em (0,1) — não é um ângulo perfeito, mas a curvatura muda de modo que a tangente esquerda e a tangente direita têm inclinações opostas.]

Passo 8

Valores numéricos úteis para o esboço (usar se quiser posicionar pontos no papel):
  • e\approx 2,718, então (1,e)\approx(1,2{,}718) e (-1,e) igual.
  • e^{2}\approx 7{,}389, então (2,e^{2})\approx(2,7{,}389) e (-2,e^{2}) igual.
    Marque (0,1) como o mínimo, depois desenhe a curva exponencial subindo rápido à direita passando por (1,e), (2,e^{2}); e desenhe a mesma forma espelhada à esquerda passando por (-1,e), (-2,e^{2}).

Passo 9

Instruções práticas para fazer o esboço no papel (passo a passo):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque o ponto (0,1) — será o menor ponto da curva.
  3. À direita de x=0, trace a curva exponencial crescente que passa por (1,e) e (2,e^{2}).
  4. À esquerda de x=0, desenhe a mesma curva espelhada em relação ao eixo y (passando por (-1,e), (-2,e^{2})).
  5. Faça a junção suave das duas peças em x=0 mantendo a mudança de inclinação (não espere uma derivada contínua ali).
  6. Certifique-se de que ambos os ramos vão para cima rapidamente conforme se afasta do zero (crescimento exponencial para |x| grande).

Resposta

Gráfico simétrico em relação ao eixo y (função par). Mínimo global em (0,1). Para x\ge 0 segue y=e^{x} (crescente) e para x<0 segue y=e^{-x} (ramo espelhado, também crescendo quando se vai para a esquerda). Pontos-chave: (0,1), (\pm1,e), (\pm2,e^{2}). A função tende a \infty quando x\to\pm\infty e não é diferenciável em x=0.

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