Faça um esboço gráfico de cada uma das funções dadas. Tente usar apenas o que se conhece do gráfico das funções exponenciais conhecidas.
Passo 1
O enunciado pede que eu faça um esboço do gráfico da função
.
Informações dadas (apenas aquilo que aparece no enunciado):
Informações dadas (apenas aquilo que aparece no enunciado):
- A função é
. - Não há figuras adicionais.
O objetivo é desenhar (esboçar) o gráfico usando conhecimento do gráfico das exponenciais conhecidas.
Passo 2
Relembrando o gráfico básico que vou usar como referência: a função
.
- Domínio:
. - Imagem (valores possíveis):
. - Intercepto:
então passa por . - Comportamento: é crescente;
e .
Essas propriedades são o que vou usar para construir o gráfico de.
Passo 3
Entendendo a função com valor absoluto: escrever
de forma peça-a-peça:
Portanto a função pode ser escrita em duas peças:
Ainda não desenhei nada; apenas transformei a função em duas expressões que conhecemos.]
Passo 4
Análise da parte para
:
- Para
temos , ou seja, exatamente a exponencial padrão no semieixo direito. - Pontos importantes:
, , . - Comportamento: é crescente neste intervalo e tende a
quando .
Passo 5
Análise da parte para
:
- Para
temos . Se fizermos a mudança de variável (então ), obtemos . Isso mostra que a parte à esquerda é a mesma curva exponencial que conhecemos no semieixo positivo, só que parametrizada por . - Conclusão prática: a parte para
é o espelho, em relação ao eixo , da parte para . - Pontos importantes:
, . - Comportamento: quando
, então .
Passo 6
Propriedades globais e simetria:
- A função é par (simétrica em relação ao eixo
), porque e logo . - Valor mínimo: em
temos . Como em ambas as pontas , esse é o mínimo global: . - Limites:
. - Assíntotas: não há assíntotas horizontais nem verticais; o gráfico sobe exponencialmente para ambos os lados.
Passo 7
Derivabilidade e formato no vértice:
- Derivada peça-a-peça (quando
- Portanto para
até
) e para a derivada é positiva (a curva cresce). - Limites das derivadas em
: e . Como as derivadas laterais são diferentes, a função NÃO é diferenciável em . No esboço isso aparece como um mínimo “pontudo” (canto) em — não é um ângulo perfeito, mas a curvatura muda de modo que a tangente esquerda e a tangente direita têm inclinações opostas.]
Passo 8
Valores numéricos úteis para o esboço (usar se quiser posicionar pontos no papel):
-
, então e igual. -
, então e igual.
Marquecomo o mínimo, depois desenhe a curva exponencial subindo rápido à direita passando por , ; e desenhe a mesma forma espelhada à esquerda passando por , .
Passo 9
Instruções práticas para fazer o esboço no papel (passo a passo):
- Desenhe os eixos
e . - Marque o ponto
— será o menor ponto da curva. - À direita de
, trace a curva exponencial crescente que passa por e . - À esquerda de
, desenhe a mesma curva espelhada em relação ao eixo (passando por , ). - Faça a junção suave das duas peças em
mantendo a mudança de inclinação (não espere uma derivada contínua ali). - Certifique-se de que ambos os ramos vão para cima rapidamente conforme se afasta do zero (crescimento exponencial para
grande).
Resposta
Gráfico simétrico em relação ao eixo
(função par). Mínimo global em
. Para
segue
(crescente) e para
segue
(ramo espelhado, também crescendo quando se vai para a esquerda). Pontos-chave:
,
,
. A função tende a
quando
e não é diferenciável em
.