Resolva cada equação em termos de x :
\ln x+\ln (x-1)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação em termos de x:
\ln x + \ln (x-1) = 1.
Informações fornecidas:
  • A incógnita é x.
  • A equação envolve logaritmos naturais \ln.
  • O objetivo é encontrar todos os valores de x que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Determinar o domínio da equação (valores de x nos quais a expressão faz sentido).
  • Para \ln x ser definido é necessário que x>0.
  • Para \ln(x-1) ser definido é necessário que x-1>0, isto é x>1.
    Unindo as duas condições, o domínio é
x>1.
Isso significa que qualquer solução encontrada fora de x>1 deve ser rejeitada.

Passo 3

Usar a propriedade dos logaritmos que simplifica somas de logaritmos:
  • Regra: \ln a + \ln b = \ln(ab) sempre que a>0 e b>0.
    Aplicando aqui, com a=x e b=x-1, obtemos
\ln x + \ln(x-1) = \ln\bigl(x(x-1)\bigr).
Portanto a equação original fica
\ln\bigl(x(x-1)\bigr) = 1.

Passo 4

Converter a equação logarítmica para uma equação exponencial usando a relação inversa entre logaritmo e exponenciação:
  • Se \ln y = c então y = e^{c}, porque e é a base do logaritmo natural.
    Aplicando isso:
x(x-1) = e^{1} = e.

Passo 5

Escrever a igualdade como uma equação polinomial padrão:
x(x-1)=e \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-x-e=0.
Temos uma equação quadrática na forma \,x^{2}+bx+c=0 com b=-1 e c=-e.

Passo 6

Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática).
  • Fórmula: para \,x^{2}+bx+c=0 as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4c}}{2}.
Aqui b=-1 e c=-e. Calculando o discriminante:
\Delta = b^{2}-4c = (-1)^{2}-4(-e) = 1+4e.
Portanto as raízes são
x=\frac{1\pm\sqrt{1+4e}}{2}.

Passo 7

Aplicar a condição de domínio x>1 para selecionar as raízes válidas.
  • Avaliando as duas possibilidades:
x_{1}=\frac{1+\sqrt{1+4e}}{2},\qquad x_{2}=\frac{1-\sqrt{1+4e}}{2}.
Como \sqrt{1+4e}>\!1, tem-se x_{2}<0, logo x_{2} não pertence ao domínio x>1 e é rejeitada.
  • A raiz x_{1} é claramente maior que 1 e, portanto, válida.
    Opcionalmente, uma aproximação numérica rápida:
1+4e \approx 11{,}8731,\quad \sqrt{1+4e}\approx 3{,}446,
x_{1}\approx\frac{1+3{,}446}{2}\approx 2{,}223.

Resposta

\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{1+4e}}{2}

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