Resolva cada equação em termos de
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação em termos de
:
Informações fornecidas:
- A incógnita é
. - A equação envolve logaritmos naturais
. - O objetivo é encontrar todos os valores de
que satisfazem a igualdade.
Passo 2
Determinar o domínio da equação (valores de
nos quais a expressão faz sentido).
- Para
ser definido é necessário que . - Para
ser definido é necessário que , isto é .
Unindo as duas condições, o domínio é
Isso significa que qualquer solução encontrada fora de
deve ser rejeitada.
Passo 3
Usar a propriedade dos logaritmos que simplifica somas de logaritmos:
- Regra:
sempre que e .
Aplicando aqui, come , obtemos
Portanto a equação original fica
Passo 4
Converter a equação logarítmica para uma equação exponencial usando a relação inversa entre logaritmo e exponenciação:
- Se
então , porque é a base do logaritmo natural.
Aplicando isso:
Passo 5
Escrever a igualdade como uma equação polinomial padrão:
Temos uma equação quadrática na forma
com
e
.
Passo 6
Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática).
- Fórmula: para
as raízes são
Aqui
e
. Calculando o discriminante:
Portanto as raízes são
Passo 7
Aplicar a condição de domínio
para selecionar as raízes válidas.
- Avaliando as duas possibilidades:
Como
, tem-se
, logo
não pertence ao domínio
e é rejeitada.
- A raiz
é claramente maior que e, portanto, válida.
Opcionalmente, uma aproximação numérica rápida: