Faça um esboço do gráfico de f determinando primeiro: os extremos relativos de f; os pontos de inflexão do gráfico de f; os intervalos nos quais f é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
y=\frac{x^{2}}{x^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+3},
determinando os extremos relativos, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, regiões de concavidade e inclinações das retas tangentes nos pontos de inflexão. Vamos usar a primeira e a segunda derivadas, análise de sinais e limites no infinito.

Passo 2

Calcular f'(x) pela regra do quociente. Seja u=x^{2} e v=x^{2}+3. Então
u'=2x,\quad v'=2x,
e
f'(x) =\frac{u'v - uv'}{v^{2}} =\frac{2x\,(x^{2}+3)-x^{2}\,(2x)}{(x^{2}+3)^{2}} =\frac{2x^{3}+6x-2x^{3}}{(x^{2}+3)^{2}} =\frac{6x}{(x^{2}+3)^{2}}.
O único ponto crítico vem de f'(x)=0, isto é, x=0. Como f'(x)<0 para x<0 e f'(x)>0 para x>0, concluímos que em x=0 existe um mínimo relativo. O valor é
f(0)=0.

Passo 3

Dos sinais de f'(x) obtemos os intervalos de monotonicidade:
- f é decrescente em (- \infty,0) pois f'(x)<0 ali.
- f é crescente em (0,\infty) pois f'(x)>0 ali.

Passo 4

Calcular f''(x) derivando
f'(x)=6x\,(x^{2}+3)^{-2}
via produto e cadeia. Temos
f''(x) =6\,(x^{2}+3)^{-2} +6x\cdot(-2)\,(x^{2}+3)^{-3}\cdot(2x) =\frac{6}{(x^{2}+3)^{2}}-\frac{24x^{2}}{(x^{2}+3)^{3}} =\frac{18-18x^{2}}{(x^{2}+3)^{3}} =\frac{18\,(1-x^{2})}{(x^{2}+3)^{3}}.
Zerando f''(x) 1-x^{2}=0, isto é x=\pm1. Os pontos de inflexão são \bigl(\pm1,f(\pm1)\bigr) com
f(\pm1)=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}.

Passo 5

Análise de concavidade a partir do sinal de f''(x):
- f''(x)>0 se |x|<1, logo f é côncava para cima em (-1,1).
- f''(x)<0 se |x|>1, logo f é côncava para baixo em (- \infty,-1)\cup(1,\infty).
A inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão vem de f'(\pm1):
f'(\pm1)=\frac{6\,(\pm1)}{(1+3)^{2}}=\pm\frac{6}{16}=\pm\frac{3}{8}.

Passo 6

Para o esboço observe também que \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1, ou seja, há assíntota horizontal y=1, e que f é função par (simétrica em relação ao eixo y). Colocando tudo junto: mínimo em (0,0), inflexões em \bigl(-1,\tfrac14\bigr) e \bigl(1,\tfrac14\bigr) com tangentes de inclinação -\tfrac38 e +\tfrac38, e concavidade alternando conforme acima.

Resposta

Mínimo relativo: (0,0).
Não há máximos relativos.
Pontos de inflexão: \bigl(-1,\tfrac14\bigr) e \bigl(1,\tfrac14\bigr).
f decrescente em (-\infty,0), crescente em (0,\infty).
Côncava para cima em (-1,1), côncava para baixo em (-\infty,-1)\cup(1,\infty).
Inclinações nas inflexões: -\tfrac38 em x=-1 e +\tfrac38 em x=1.
Assíntota horizontal: y=1.

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