Faça um esboço do gráfico de
determinando primeiro: os extremos relativos de
; os pontos de inflexão do gráfico de
; os intervalos nos quais
é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
determinando os extremos relativos, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, regiões de concavidade e inclinações das retas tangentes nos pontos de inflexão. Vamos usar a primeira e a segunda derivadas, análise de sinais e limites no infinito.
Passo 2
Calcular
pela regra do quociente. Seja
e
. Então
e
O único ponto crítico vem de
, isto é,
. Como
para
e
para
, concluímos que em
existe um mínimo relativo. O valor é
Passo 3
Dos sinais de
obtemos os intervalos de monotonicidade:
- é decrescente em
pois
ali.
- é crescente em
pois
ali.
-
-
Passo 4
Calcular
derivando
via produto e cadeia. Temos
Zerando
dá
, isto é
. Os pontos de inflexão são
com
Passo 5
Análise de concavidade a partir do sinal de
:
- se
, logo
é côncava para cima em
.
- se
, logo
é côncava para baixo em
.
A inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão vem de :
-
-
A inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão vem de
Passo 6
Para o esboço observe também que
, ou seja, há assíntota horizontal
, e que
é função par (simétrica em relação ao eixo
). Colocando tudo junto: mínimo em
, inflexões em
e
com tangentes de inclinação
e
, e concavidade alternando conforme acima.
Resposta
Mínimo relativo:
.
Não há máximos relativos.
Pontos de inflexão: e
.
decrescente em
, crescente em
.
Côncava para cima em , côncava para baixo em
.
Inclinações nas inflexões: em
e
em
.
Assíntota horizontal: .
Não há máximos relativos.
Pontos de inflexão:
Côncava para cima em
Inclinações nas inflexões:
Assíntota horizontal: