Faça um esboço do gráfico de
determinando primeiro: os extremos relativos de
; os pontos de inflexão do gráfico de
; os intervalos nos quais
é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
Passo 1
O enunciado pede o esboço de
, determinando os extremos relativos, pontos de inflexão, intervalos de crescimento/decrescimento e concavidade. Para isso vamos calcular a primeira derivada
(para monotonicidade e extremos) e a segunda derivada
(para concavidade e inflexões).
Passo 2
Começamos definindo o domínio: como aparece
, é necessário
, logo
.
Usamos a regra do produto e cadeia para obter
Usamos a regra do produto e cadeia para obter
Passo 3
Para achar extremos, buscamos
no interior do domínio. O numerador zera em
, isto é
.
Analisando o sinal de : como
internamente, o sinal vem de
.
– Se , então
e
(função crescente).
– Se , então
e
(função decrescente).
Logo em muda de decrescente para crescente (mínimo relativo) e em
muda de crescente para decrescente (máximo relativo).
Calculamos e
.
Analisando o sinal de
– Se
– Se
Logo em
Calculamos
Passo 4
Agora a segunda derivada. A partir de
aplicamos produto e cadeia para chegar a
No interior do domínio o denominador é positivo, então o sinal de
é o de
. Como para todo
vale
, segue que o sinal de
é oposto ao de
.
Assim para
(côncavo para cima) e
para
(côncavo para baixo). O único ponto em que
no interior é
, que é ponto de inflexão.
Assim
Passo 5
Para traçar a reta tangente no ponto de inflexão
calculamos
Logo a reta tangente em
é
.
Passo 6
Com tudo em mãos podemos esboçar o gráfico em
:
– Em e
vale
.
– Há mínimo relativo em e máximo relativo em
.
– Cresce em e decresce em
e
.
– É côncavo para cima em e côncavo para baixo em
.
– Ponto de inflexão em com reta tangente de inclinação
.
– Em
– Há mínimo relativo em
– Cresce em
– É côncavo para cima em
– Ponto de inflexão em
Resposta
Extremos relativos: mínimo em
, máximo em
.
Ponto de inflexão: com reta tangente
.
Crescente em .
Decrescente em e
.
Côncavo para cima em .
Côncavo para baixo em .
Ponto de inflexão:
Crescente em
Decrescente em
Côncavo para cima em
Côncavo para baixo em