Faça um esboço do gráfico de f determinando primeiro: os extremos relativos de f; os pontos de inflexão do gráfico de f; os intervalos nos quais f é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
y=x \sqrt{2-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o esboço de f(x)=x\sqrt{2-x^{2}}, determinando os extremos relativos, pontos de inflexão, intervalos de crescimento/decrescimento e concavidade. Para isso vamos calcular a primeira derivada \,f'(x)\, (para monotonicidade e extremos) e a segunda derivada \,f''(x)\, (para concavidade e inflexões).

Passo 2

Começamos definindo o domínio: como aparece \sqrt{2-x^{2}}, é necessário 2-x^{2}\ge0, logo x\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}].
Usamos a regra do produto e cadeia para obter
f'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl[x\,(2-x^{2})^{1/2}\Bigr] =(2-x^{2})^{1/2}-\frac{x^{2}}{(2-x^{2})^{1/2}} =\frac{2-2x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}} =2\;\frac{1-x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}}\,.

Passo 3

Para achar extremos, buscamos f'(x)=0 no interior do domínio. O numerador zera em 1-x^{2}=0, isto é x=\pm1.
Analisando o sinal de f'(x): como \sqrt{2-x^{2}}>0 internamente, o sinal vem de 1-x^{2}.
– Se |x|<1, então 1-x^{2}>0 e f'>0 (função crescente).
– Se 1<|x|<\sqrt{2}, então 1-x^{2}<0 e f'<0 (função decrescente).
Logo em x=-1 muda de decrescente para crescente (mínimo relativo) e em x=1 muda de crescente para decrescente (máximo relativo).
Calculamos f(-1)=-1\cdot\sqrt{1}=-1 e f(1)=1\cdot\sqrt{1}=1.

Passo 4

Agora a segunda derivada. A partir de
f'(x)=2\,(1-x^{2})(2-x^{2})^{-1/2}
aplicamos produto e cadeia para chegar a
f''(x) =\frac{2x\,(x^{2}-3)}{(2-x^{2})^{3/2}}\,.
No interior do domínio o denominador é positivo, então o sinal de f'' é o de x\,(x^{2}-3). Como para todo |x|\le\sqrt{2}<\sqrt{3} vale x^{2}-3<0, segue que o sinal de f'' é oposto ao de x.
Assim f''>0 para x<0 (côncavo para cima) e f''<0 para x>0 (côncavo para baixo). O único ponto em que f''(x)=0 no interior é x=0, que é ponto de inflexão.

Passo 5

Para traçar a reta tangente no ponto de inflexão x=0 calculamos
f(0)=0,\quad f'(0)=2\frac{1-0}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.
Logo a reta tangente em (0,0) é y=\sqrt{2}\,x.

Passo 6

Com tudo em mãos podemos esboçar o gráfico em [-\,\sqrt{2},\sqrt{2}]:
– Em -\sqrt{2} e \sqrt{2} vale f=0.
– Há mínimo relativo em (-1,-1) e máximo relativo em (1,1).
– Cresce em (-1,1) e decresce em (-\sqrt{2},-1) e (1,\sqrt{2}).
– É côncavo para cima em (-\sqrt{2},0) e côncavo para baixo em (0,\sqrt{2}).
– Ponto de inflexão em (0,0) com reta tangente de inclinação \sqrt{2}.

Resposta

Extremos relativos: mínimo em (-1,-1), máximo em (1,1).
Ponto de inflexão: (0,0) com reta tangente y=\sqrt{2}\,x.
Crescente em (-1,1).
Decrescente em (-\sqrt{2},-1) e (1,\sqrt{2}).
Côncavo para cima em (-\sqrt{2},0).
Côncavo para baixo em (0,\sqrt{2}).

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