Faça um esboço do gráfico de f determinando primeiro: os extremos relativos de f; os pontos de inflexão do gráfico de f; os intervalos nos quais f é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
y=x^{5 / 3}-5 x^{2 / 3}

Passo 1

O enunciado pede um esboço do gráfico de
f(x)=x^{5/3}-5\,x^{2/3}
determinando
  • os extremos relativos de f;
  • os pontos de inflexão do gráfico de f;
  • os intervalos em que f é crescente e decrescente;
  • onde o gráfico é côncavo para cima e para baixo;
  • a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão.
    Para isso, vamos precisar de f'(x) (teste de monotonicidade) e de f''(x) (teste de concavidade).

Passo 2

Calcular f'(x) e achar os pontos críticos.
f(x)=x^{5/3}-5\,x^{2/3}
f'(x)=\frac{5}{3}x^{2/3}-\frac{10}{3}x^{-1/3} =\frac{5}{3}\bigl(x^{2/3}-2\,x^{-1/3}\bigr) =\frac{5}{3}x^{-1/3}(x-2).
Para f'(x)=0 necessita x-2=0, logo x=2.
Além disso, em x=0 a derivada não existe ( f' explode), sendo também ponto crítico.

Passo 3

Determinar sinais de f'(x) e classificar extremos.
  • Em x<0: x^{-1/3}<0 e x-2<0 \Rightarrow f'(x)>0.
  • Em 0<x<2: x^{-1/3}>0 e x-2<0 \Rightarrow f'(x)<0.
  • Em x>2: x^{-1/3}>0 e x-2>0 \Rightarrow f'(x)>0.
    Portanto
  • f cresce em (-\infty,0), decresce em (0,2) e cresce em (2,\infty).
  • Em x=0 há troca de crescente para decrescente \Rightarrow máximo relativo em x=0, com f(0)=0.
  • Em x=2 há troca de decrescente para crescente \Rightarrow mínimo relativo em x=2, com
f(2)=2^{5/3}-5\cdot2^{2/3} =2^{2/3}(2-5)=-3\cdot2^{2/3}.

Passo 4

Calcular f''(x) e achar pontos de inflexão e concavidade.
f'(x)=\frac{5}{3}x^{2/3}-\frac{10}{3}x^{-1/3}
f''(x)=\frac{5}{3}\cdot\frac{2}{3}x^{-1/3} -\frac{10}{3}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)x^{-4/3} =\frac{10}{9}x^{-1/3}+\frac{10}{9}x^{-4/3} =\frac{10}{9}x^{-4/3}(x+1).
Solução de f''(x)=0 x+1=0, ou seja, x=-1. Em x=0 a segunda derivada também não existe, mas não muda sinal ali.
Teste de concavidade:
  • Para x<-1: x+1<0, x^{-4/3}>0 \Rightarrow f''(x)<0 \to côncavo para baixo.
  • Para -1<x<0: x+1>0, x^{-4/3}>0 \Rightarrow f''(x)>0 \to côncavo para cima.
  • Para x>0: idem \Rightarrow côncavo para cima.
    Logo há ponto de inflexão em x=-1, com
f(-1)=(-1)^{5/3}-5(-1)^{2/3}=-1-5\cdot1=-6.

Passo 5

Determinar a inclinação da reta tangente em x=-1.
f'(-1)=\frac{5}{3}(-1)^{2/3}-\frac{10}{3}(-1)^{-1/3} =\frac{5}{3}\cdot1-\frac{10}{3}\cdot(-1) =\frac{5}{3}+\frac{10}{3}=5.
A reta tangente em (-1,-6) é
y+6=5\,(x+1) \quad\Longrightarrow\quad y=5x-1.

Passo 6

Resumo qualitativo para o esboço:
  • À esquerda de -1: cresce e é côncavo para baixo.
  • Em -1: inflexão com reta y=5x-1.
  • De -1 até 0: cresce e é côncavo para cima, aproximando-se verticalmente em x=0.
  • Em 0: máximo relativo (0,0) com tangente vertical.
  • De 0 a 2: decresce e continua côncavo para cima.
  • Em 2: mínimo relativo \bigl(2,-3\cdot2^{2/3}\bigr).
  • Para x>2: cresce e é côncavo para cima até +\infty.

Resposta

Extremos relativos:
  • Máximo em (0,0).
  • Mínimo em \bigl(2,-3\cdot2^{2/3}\bigr).
Ponto de inflexão:
\bigl(-1,-6\bigr) com reta tangente y=5x-1.
Monotonicidade:
  • f cresce em (-\infty,0) e em (2,\infty).
  • f decresce em (0,2).
Concavidade:
  • Côncavo para baixo em (-\infty,-1).
  • Côncavo para cima em (-1,\infty).

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