Faça um esboço do gráfico de
determinando primeiro: os extremos relativos de
; os pontos de inflexão do gráfico de
; os intervalos nos quais
é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
Passo 1
O enunciado pede um esboço do gráfico de
determinando
- os extremos relativos de
; - os pontos de inflexão do gráfico de
; - os intervalos em que
é crescente e decrescente; - onde o gráfico é côncavo para cima e para baixo;
- a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão.
Para isso, vamos precisar de(teste de monotonicidade) e de (teste de concavidade).
Passo 2
Calcular
e achar os pontos críticos.
Para
necessita
, logo
.
Além disso, em a derivada não existe (
explode), sendo também ponto crítico.
Além disso, em
Passo 3
Determinar sinais de
e classificar extremos.
- Em
: e . - Em
: e . - Em
: e .
Portanto -
cresce em , decresce em e cresce em . - Em
há troca de crescente para decrescente máximo relativo em , com . - Em
há troca de decrescente para crescente mínimo relativo em , com
Passo 4
Calcular
e achar pontos de inflexão e concavidade.
Solução de
dá
, ou seja,
. Em
a segunda derivada também não existe, mas não muda sinal ali.
Teste de concavidade:
Teste de concavidade:
- Para
: , côncavo para baixo. - Para
: , côncavo para cima. - Para
: idem côncavo para cima.
Logo há ponto de inflexão em, com
Passo 5
Determinar a inclinação da reta tangente em
.
A reta tangente em
é
Passo 6
Resumo qualitativo para o esboço:
- À esquerda de
: cresce e é côncavo para baixo. - Em
: inflexão com reta . - De
até : cresce e é côncavo para cima, aproximando-se verticalmente em . - Em
: máximo relativo com tangente vertical. - De
a : decresce e continua côncavo para cima. - Em
: mínimo relativo . - Para
: cresce e é côncavo para cima até .
Resposta
Extremos relativos:
- Máximo em
. - Mínimo em
.
Ponto de inflexão:
com reta tangente
.
Monotonicidade:
-
cresce em e em . -
decresce em .
Concavidade:
- Côncavo para baixo em
. - Côncavo para cima em
.