Faça um esboço do gráfico de f determinando primeiro: os extremos relativos de f; os pontos de inflexão do gráfico de f; os intervalos nos quais f é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
y=x \operatorname{tg} x, \quad-\pi / 2<x<\pi / 2

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
y = x \tan x,\quad -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2},
determinando ( 1) os extremos relativos, ( 2) os pontos de inflexão, ( 3) os intervalos de crescimento e decrescimento, ( 4) os intervalos de concavidade e ( 5) as inclinações das tangentes nos pontos de inflexão. Para isso vamos calcular f'(x) e f''(x), estudar seus zeros e sinais.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira usando regra do produto e derivada de \tan x:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x\tan x\bigr) = 1\cdot \tan x + x\cdot \operatorname{sec}^2 x = \tan x + x\operatorname{sec}^2 x.
Para achar extremos, resolvemos
f'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad \tan x + x\operatorname{sec}^2 x = 0.
Observe que a função
g(x)=\tan x + x\operatorname{sec}^2 x
é estritamente crescente em \bigl(-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\bigr) (pois g'(x)=2\operatorname{sec}^2 x +2x\operatorname{sec}^2 x\tan x>0), e g(0)=0. Logo a única solução é x=0.

Passo 3

Estudamos o sinal de f':
  • Para x>0, temos \tan x>0 e x\operatorname{sec}^2 x>0, logo f'(x)>0.
  • Para x<0, temos \tan x<0 e x\operatorname{sec}^2 x<0, logo f'(x)<0.
    Isso mostra que f é decrescente em \bigl(-\tfrac\pi2,0\bigr) e crescente em \bigl(0,\tfrac\pi2\bigr), com um mínimo relativo em x=0. Como
f(0)=0\cdot\tan0=0,
o extremo relativo é mínimo em (0,0).

Passo 4

Calculamos a derivada segunda para analisar concavidade:
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(\tan x + x\operatorname{sec}^2 x\bigr) = \operatorname{sec}^2 x + \operatorname{sec}^2 x + 2x\operatorname{sec}^2 x\tan x = 2\operatorname{sec}^2 x\,(1 + x\tan x).
No domínio -\tfrac\pi2<x<\tfrac\pi2 temos \operatorname{sec}^2 x>0 e x\tan x\ge0 (é até 0 em x=0), então
1 + x\tan x>0 \quad\Longrightarrow\quad f''(x)>0\quad\forall x.
Portanto o gráfico é côncavo para cima em todo o domínio e não há pontos de inflexão.

Passo 5

Como não há pontos de inflexão, não precisamos das inclinações das tangentes neles. Resumindo:
  • Cresce em \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr), decresce em \bigl(-\tfrac{\pi}{2},0\bigr).
  • Único extremo relativo: mínimo em (0,0).
  • Sempre côncavo para cima, sem inflexões.
  • As retas verticais x=\pm \tfrac{\pi}{2} são assíntotas verticais: y\to+\infty ao aproximar-se de \pm\tfrac{\pi}{2}.
    O gráfico é uma “tigela” simétrica em relação ao eixo y, saindo do +\infty em x=-\tfrac{\pi}{2}, decrescendo até (0,0), e voltando a subir para +\infty em x=\tfrac{\pi}{2}.

Resposta

A função é decrescente em \bigl(-\tfrac\pi2,0\bigr) e crescente em \bigl(0,\tfrac\pi2\bigr). Tem um mínimo relativo em (0,0). É côncava para cima em todo o domínio e não possui pontos de inflexão. As retas x=\pm\tfrac\pi2 são assíntotas verticais com y\to+\infty.

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