Faça um esboço do gráfico de
determinando primeiro: os extremos relativos de
; os pontos de inflexão do gráfico de
; os intervalos nos quais
é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
determinando (
) os extremos relativos, (
) os pontos de inflexão, (
) os intervalos de crescimento e decrescimento, (
) os intervalos de concavidade e (
) as inclinações das tangentes nos pontos de inflexão. Para isso vamos calcular
e
, estudar seus zeros e sinais.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira usando regra do produto e derivada de
:
Para achar extremos, resolvemos
Observe que a função
é estritamente crescente em
(pois
), e
. Logo a única solução é
.
Passo 3
Estudamos o sinal de
:
- Para
, temos e , logo . - Para
, temos e , logo .
Isso mostra queé decrescente em e crescente em , com um mínimo relativo em . Como
o extremo relativo é mínimo em
.
Passo 4
Calculamos a derivada segunda para analisar concavidade:
No domínio
temos
e
(é até
em
), então
Portanto o gráfico é côncavo para cima em todo o domínio e não há pontos de inflexão.
Passo 5
Como não há pontos de inflexão, não precisamos das inclinações das tangentes neles. Resumindo:
- Cresce em
, decresce em . - Único extremo relativo: mínimo em
. - Sempre côncavo para cima, sem inflexões.
- As retas verticais
são assíntotas verticais: ao aproximar-se de .
O gráfico é uma “tigela” simétrica em relação ao eixo, saindo do em , decrescendo até , e voltando a subir para em .
Resposta
A função é decrescente em
e crescente em
. Tem um mínimo relativo em
. É côncava para cima em todo o domínio e não possui pontos de inflexão. As retas
são assíntotas verticais com
.