Resolva as equações usando a transformada de Laplace
l y^prime prime-y^prime=e^t cos t, y(0) =0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y''-y'=e^tcos t com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0 usando transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades de Ly', Ly'' e da transformada de e^atcos(bt).

Passo 2

Aplicar a transformada de Laplace nos dois lados. Chamando Y(s)=Ly(t), temos Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)=s^2Y(s) e Ly'=sY(s)-y(0)=sY(s). Logo a equação vira
(s^2 - s),Y(s)=Le^tcos t,

Passo 3

Usando a fórmula Le^atcos(bt)=s-a(s-a)^2+b^2 com a=1 e b=1, temos
Le^tcos t=s-1(s-1)^2+1
e portanto
Y(s)=s-1(s^2 - s)l((s-1)^2+1r)

Passo 4

Simplificando, cancelamos o fator s-1:
Y(s)=1sl((s-1)^2+1r)

Passo 5

Fazemos frações parciais:
1s((s-1)^2+1)=As+B(s-1)+C(s-1)^2+1

Passo 6

Igualando coeficientes obtemos A=tfrac12, B=-tfrac12, C=tfrac12. Assim
Y(s)=12s-12s-1(s-1)^2+1+121(s-1)^2+1

Passo 7

Aplicando a transformada inversa em cada termo: L^-11/s=1, L^-1(s-1)/((s-1)^2+1)=e^tcos t e L^-11/((s-1)^2+1)=e^tsin t.

Resposta

y(t)=12-12e^tcos t+12e^tsin t

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