Responda Verdadeiro ou Falso, Justificando sua resposta.
SEJA f DEFINIDA NUM INTERVALO
. Se
É CONTÍNUA EM I Então f É CONTÍNUA EM I.
SEJA f DEFINIDA NUM INTERVALO
Passo 1
O enunciado afirma que, dada uma função
definida em um intervalo
e
, se
é contínua em
então
também é contínua em
. O conteúdo aqui envolve definição de continuidade e propriedades de composição de funções.
Passo 2
Lembrando a teoria: a aplicação
é contínua em todo lugar. Logo, se
é contínua, então
é contínua, pois é composição de funções contínuas. Mas o recíproco dessa afirmação não é garantido em análise: saber que
é contínua não implica que
preserve o sinal de forma contínua.
Passo 3
Para ver que a afirmação é falsa, apresentamos um contraexemplo clássico. Definimos
Então
tem salto (é descontínua) em
, pois
e
. Porém,
é a função constante 1, que é contínua em todo
. Portanto,
é contínua sem que
seja.
Passo 4
Com isso mostramos que existe função
tal que
é contínua mas
não é. Logo, a afirmação é falsa.
Resposta
Falso