Responda Verdadeiro ou Falso, Justificando sua resposta.
SEJA f DEFINIDA NUM INTERVALO I in h(x)=|f(x)|. Se h É CONTÍNUA EM I Então f É CONTÍNUA EM I.

Passo 1

O enunciado afirma que, dada uma função f definida em um intervalo I e h(x)=|f(x)|, se h é contínua em I então f também é contínua em I. O conteúdo aqui envolve definição de continuidade e propriedades de composição de funções.

Passo 2

Lembrando a teoria: a aplicação xmapsto |x| é contínua em todo lugar. Logo, se f é contínua, então h=|f| é contínua, pois é composição de funções contínuas. Mas o recíproco dessa afirmação não é garantido em análise: saber que |f| é contínua não implica que f preserve o sinal de forma contínua.

Passo 3

Para ver que a afirmação é falsa, apresentamos um contraexemplo clássico. Definimos
f(x)=1,&x>=0,-1,&x<0 .
Então f tem salto (é descontínua) em x=0, pois limxto0^-f(x)=-1 e limxto0^+f(x)=1. Porém,
h(x)=|f(x)|=1
é a função constante 1, que é contínua em todo I. Portanto, h é contínua sem que f seja.

Passo 4

Com isso mostramos que existe função f tal que |f| é contínua mas f não é. Logo, a afirmação é falsa.

Resposta

Falso

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