Faça um esboço do gráfico e determine o domínio e a imagem de cada função dada:
Passo 1
Resumo do enunciado: a função f é definida por:
Precisamos esboçar o gráfico, achar o domínio e a imagem. O conteúdo envolve funções definidas por partes, análise de domínio de raiz quadrada e estudo de máxima/mínima de uma parábola.
Passo 2
Determinação do domínio de cada trecho: para x\le1 não há restrição extra, logo esse trecho vale em (-\infty,1]; para x>1, dentro da raiz devemos ter 12x^2-3\ge0, isto é x^2\ge1/4, ou seja x\le-1/2 ou x\ge1/2. Como queremos x>1, essa condição já é satisfeita. Assim o domínio global de f é (-\infty,1]\cup(1,\infty) = (-\infty,\infty).
Passo 3
Esboço da parte parabólica (x\le1): escrevendo f(x)=x2+2x+3=(x+1)2+2, vemos vértice em (-1,2). Em x=1 temos f(1)=6. Para x\to-\infty, f(x)\to+\infty. No esboço fica o braço da parábola limitado em x=1, passando por (-1,2) e chegando à (1,6) com ponto sólido.
Passo 4
Esboço da parte de raiz (x>1): f(x)=-\sqrt{12x^2-3}. Em x\to1^+ temos f(x)\to-3 (ponto aberto em (1,-3)). À medida que x cresce, \sqrt{12x^2-3} cresce e f(x)\to-\infty. O gráfico é um ramo decrescente que parte logo abaixo de -3 e cai indefinidamente.
Passo 5
Imagem da parte parabólica: como o vértice dá valor mínimo f(-1)=2 e f(x)\to+\infty para x\to\pm\infty, no domínio x\le1 temos imagem [2,\infty).
Passo 6
Imagem da parte de raiz: para x>1, \sqrt{12x^2-3}>3, logo f(x)=-\sqrt{12x^2-3}<-3, e com x\to\infty f(x)\to-\infty, dando imagem (-\infty,-3).
Passo 7
União das imagens: juntando [2,\infty) e (-\infty,-3) obtemos a imagem global f(\mathbb{R}) = (-\infty,-3) \cup [2,\infty).
Resposta
Domínio:
. Imagem:
.