Faça um esboço do gráfico e determine o domínio e a imagem de cada função dada:
f(x)=clx^2+2 x+3, & se x <= 1 -raiz12 x^2-3, & se x>1

Passo 1

Resumo do enunciado: a função f é definida por:
f(x)=x^2+2x+3,&x<=1-raiz12x^2-3,&x>1
Precisamos esboçar o gráfico, achar o domínio e a imagem. O conteúdo envolve funções definidas por partes, análise de domínio de raiz quadrada e estudo de máxima/mínima de uma parábola.

Passo 2

Determinação do domínio de cada trecho: para x\le1 não há restrição extra, logo esse trecho vale em (-\infty,1]; para x>1, dentro da raiz devemos ter 12x^2-3\ge0, isto é x^2\ge1/4, ou seja x\le-1/2 ou x\ge1/2. Como queremos x>1, essa condição já é satisfeita. Assim o domínio global de f é (-\infty,1]\cup(1,\infty) = (-\infty,\infty).

Passo 3

Esboço da parte parabólica (x\le1): escrevendo f(x)=x2+2x+3=(x+1)2+2, vemos vértice em (-1,2). Em x=1 temos f(1)=6. Para x\to-\infty, f(x)\to+\infty. No esboço fica o braço da parábola limitado em x=1, passando por (-1,2) e chegando à (1,6) com ponto sólido.

Passo 4

Esboço da parte de raiz (x>1): f(x)=-\sqrt{12x^2-3}. Em x\to1^+ temos f(x)\to-3 (ponto aberto em (1,-3)). À medida que x cresce, \sqrt{12x^2-3} cresce e f(x)\to-\infty. O gráfico é um ramo decrescente que parte logo abaixo de -3 e cai indefinidamente.

Passo 5

Imagem da parte parabólica: como o vértice dá valor mínimo f(-1)=2 e f(x)\to+\infty para x\to\pm\infty, no domínio x\le1 temos imagem [2,\infty).

Passo 6

Imagem da parte de raiz: para x>1, \sqrt{12x^2-3}>3, logo f(x)=-\sqrt{12x^2-3}<-3, e com x\to\infty f(x)\to-\infty, dando imagem (-\infty,-3).

Passo 7

União das imagens: juntando [2,\infty) e (-\infty,-3) obtemos a imagem global f(\mathbb{R}) = (-\infty,-3) \cup [2,\infty).

Resposta

Domínio: R. Imagem: .

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