Faça um esboço do gráfico e determine o domínio e a imagem de cada função dada:
f(x)=rrrraiz9+3 x^2, & se & x<0 -x^2+4 x-5, & se & x >= 0

Passo 1

Estamos com a função por partes
f(x)= raiz9+3x^2, & x<0, -x^2+4x-5, & x>=0,
O objetivo é esboçar o gráfico e achar o domínio e a imagem usando conceitos de domínio de radical e de estudo de parábola.

Passo 2

Primeiro, o domínio. No ramo x<0, temos a raiz raiz9+3x^2, cujo argumento 9+3x^2 é sempre ≥0 para todo x. No ramo x>=0, o polinômio -x^2+4x-5 está definido para todos os x. Portanto, o domínio de f é
(-infty,infty)

Passo 3

Agora analisamos o ramo x<0:
y=raiz9+3x^2
Esse valor é mínimo quando xto0^-, dando ytoraiz9=3, e cresce indefinidamente quando xto-infty. Como x=0 não está incluído neste ramo, y=3 não se atinge, ficando
ima>=m para x<0:;(3,infty)

Passo 4

Para o ramo x>=0, definimos
y=-x^2+4x-5=-(x^2-4x+5)=-(x-2)^2-1
É uma parábola voltada para baixo, com vértice em (2,-1). Em x=0 temos y=-5. À medida que xtoinfty, yto-infty. Logo, o máximo local é y=-1 em x=2 e não há limite inferior. A imagem neste ramo é
(-infty,-1]

Passo 5

Esboço do gráfico: à esquerda de zero, plotamos y=raiz9+3x^2 decrescente de +infty (em xto-infty) até aproximar-se de 3 em x=0^- (sem incluir o ponto). À direita de zero, desenhamos a parábola com ponto em (0,-5), sobe até (2,-1) e depois decresce até -infty.

Passo 6

Juntando tudo, o domínio é ( -infty,infty) e a imagem é a união dos dois intervalos encontrados.

Resposta

Domínio: (-∞, ∞)
Imagem: (-∞, -1] ∪ (3, ∞)

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