Resolva as equações usando a transformada de Laplace
l 2 y^prime prime prime+3 y^prime prime-3 y^prime-2 y=e^-t, y(0) =0, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de terceira ordem
2y‴+3y″−3y′−2y=e^{−t}
com y(0)=0, y′(0)=0, y″(0)=1 usando transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades de transformada de derivadas e depois frações parciais para inverter Y(s).

Passo 2

Usamos as fórmulas da transformada de derivada:
Ly'=sY(s)-y(0),
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),
Ly'''=s^3Y(s)-s^2y(0)-sy'(0)-y''(0)
Como y(0)=0, y’(0)=0 e y’’(0)=1, ao aplicar em 2y’’’ + 3y’’ − 3y’ − 2y obtemos
2(s^3Y-1)+3(s^2Y)-3(sY)-2Y = 1s+1

Passo 3

Reorganizando a equação para isolar Y(s):
2s^3Y -2 +3s^2Y -3sY -2Y = 1s+1
(2s^3+3s^2-3s-2)Y = 1s+1+2 = 2s+3s+1
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Y(s)=2s+3(s+1)(2s^3+3s^2-3s-2)

Passo 4

Precisamos fatorar o polinômio do denominador:
2s^3+3s^2-3s-2=(s-1)(2s^2+5s+2)=(s-1)(s+2)(2s+1)

Passo 5

Fazendo a decomposição em frações parciais:
2s+3(s-1)(s+1)(s+2)(2s+1)= As-1+ Bs+1+ Cs+2+ D2s+1
Calculando em s=1,−1,−2,−\tfrac12, achamos
A=5/18, B=1/2, C=1/9, D=−16/9.

Passo 6

Para inverter cada termo usamos
L{-1}{1/(s−1)}=e{t},
L{-1}{1/(s+1)}=e{−t},
L{-1}{1/(s+2)}=e{−2t},
L{-1}{1/(2s+1)}=\tfrac12e{−t/2}.
Assim
y(t)=\frac{5}{18}e{t}+\frac12e{−t}+\frac{1}{9}e{−2t}−\frac{16}{9}\cdot\tfrac12e{−t/2}.

Passo 7

Simplificando o último coeficiente (−16/9·1/2=−8/9) obtemos a solução no domínio do tempo.

Resposta

y(t)=\tfrac{5}{18}e{t}+\tfrac12e{−t}+\tfrac{1}{9}e{−2t}−\tfrac{8}{9}e{−t/2}

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