Resolva as equações usando a transformada de Laplace
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de terceira ordem
2y‴+3y″−3y′−2y=e^{−t}
com y(0)=0, y′(0)=0, y″(0)=1 usando transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades de transformada de derivadas e depois frações parciais para inverter Y(s).
2y‴+3y″−3y′−2y=e^{−t}
com y(0)=0, y′(0)=0, y″(0)=1 usando transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades de transformada de derivadas e depois frações parciais para inverter Y(s).
Passo 2
Usamos as fórmulas da transformada de derivada:
Como y(0)=0, y’(0)=0 e y’’(0)=1, ao aplicar em 2y’’’ + 3y’’ − 3y’ − 2y obtemos
Passo 3
Reorganizando a equação para isolar Y(s):
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Passo 4
Precisamos fatorar o polinômio do denominador:
Passo 5
Fazendo a decomposição em frações parciais:
Calculando em s=1,−1,−2,−\tfrac12, achamos
A=5/18, B=1/2, C=1/9, D=−16/9.
A=5/18, B=1/2, C=1/9, D=−16/9.
Passo 6
Para inverter cada termo usamos
L{-1}{1/(s−1)}=e{t},
L{-1}{1/(s+1)}=e{−t},
L{-1}{1/(s+2)}=e{−2t},
L{-1}{1/(2s+1)}=\tfrac12e{−t/2}.
L{-1}{1/(s−1)}=e{t},
L{-1}{1/(s+1)}=e{−t},
L{-1}{1/(s+2)}=e{−2t},
L{-1}{1/(2s+1)}=\tfrac12e{−t/2}.
Assim
y(t)=\frac{5}{18}e{t}+\frac12e{−t}+\frac{1}{9}e{−2t}−\frac{16}{9}\cdot\tfrac12e{−t/2}.
Passo 7
Simplificando o último coeficiente (−16/9·1/2=−8/9) obtemos a solução no domínio do tempo.
Resposta
y(t)=\tfrac{5}{18}e{t}+\tfrac12e{−t}+\tfrac{1}{9}e{−2t}−\tfrac{8}{9}e{−t/2}