Responda Verdadeiro ou Falso, Justificando sua resposta.
Seja f: [a, b] longrightarrow R uma função em que para cada N entre f(a) in f(b) EXISTE C in(a, b) TAL QUE f(c)=N. ENTÃO ESSA FUNÇÃO f tem que ser contínua.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f : [a,b]→ℝ com a propriedade de valor intermediário (IVP): para todo N entre f(a) e f(b) existe c∈(a,b) tal que f©=N. Queremos saber se daí decorre que f é contínua.

Passo 2

Vamos lembrar um fato clássico: toda função contínua satisfaz o IVP (Teorema do Valor Intermediário). Mas o recíproco não vale: há funções com IVP que não são contínuas. Essas funções são chamadas funções de Darboux.

Passo 3

Um contra-exemplo padrão é f : [-1,1]→ℝ definida por
f(x)= sinl(1/xr),&xneq0, 0,&x=0
aqui f(-1)=\sin(-1), f(1)=\sin(1). Para todo N entre \sin(-1) e \sin(1), basta escolher uma sequência x_k→0 tal que \sin(1/x_k)=N, garantindo c próximo de 0 com f©=N. Logo f tem IVP, mas é descontínua em x=0.

Passo 4

Como encontramos uma função com IVP que não é contínua, concluímos que a propriedade dada não obriga f a ser contínua. Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

Falso. A propriedade de valor intermediário (Darboux) não implica continuidade; há funções com IVP porém descontínuas, como f(x)=sin(1/x) em x≠0 e f(0)=0.

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