Faça um esboço do gráfico e determine o domínio e imagem das seguintes funções:
f(x)=-1+12(4)^(x-1) / 2

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de uma função exponencial transformada e que a gente determine domínio e imagem. O conteúdo aqui é transformação de função exponencial, e vamos precisar usar as propriedades de potências (em especial que 4{(x-1)/2}=2{x-1}) e o fato de que uma exponencial está definida para todo real e é sempre positiva.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão. Começamos com
f(x)=-1+12,4^(x-1)/2

Passo 3

Usando a propriedade 4^(x-1)/2=(2^2)^(x-1)/2=2^x-1 fica
f(x)=-1+12,2^x-1=-1+2^x-2

Passo 4

Como o expoente pode ser qualquer número real, o domínio é todo R, pois não há restrição na função exponencial.

Passo 5

Para a imagem, note que 2^x-2>0 para todo x. Logo
f(x)=-1+2^x-2>-1
Isso significa que o valor de f(x) nunca atinge -1, mas fica arbitrariamente próximo quando xto-infty, e cresce sem limite quando xto+infty. Portanto a imagem é (-1,infty).

Passo 6

Para o esboço do gráfico: há assíntota horizontal em y=-1. Podemos marcar alguns pontos:
  • Em x=1: f(1)=-1+2^1-2=-1+2^-1=-1+tfrac12=-tfrac12
  • Em x=2: f(2)=-1+2^0=0
  • Em x=3: f(3)=-1+2^1=1
    O gráfico é uma curva crescente que se aproxima de y=-1 à esquerda e cresce exponencialmente à direita, passando pelos pontos acima.

Resposta

Domínio: R. Imagem: (-1,infty).

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