Use o método dos coeficientes a determinar para resolver o problema com valor inicial
c y^prime prime+x y^prime-2 y=e^x y(0)=y^prime(0)=0
[Sugestão: expandir e^x em série de potências em torno de x=0.]

Passo 1

O problema pede para resolver a EDO não‐homogênea y'' + x y' - 2y = e^x com y(0)=y'(0)=0. O conteúdo aqui é o método de séries de potências (método dos coeficientes a determinar) em torno de x=0.

Passo 2

Assumimos uma solução em série de potências:
y(x)=sumn=0^inftyan x^n
Daí
y'(x)=sumn=1^inftyn an x^n-1,
y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1) an x^n-2

Passo 3

Multiplicamos x y' e somamos todas as parcelas:
x y'(x)=sumn=1^inftyn an x^n
Substituindo na EDO temos
sumn=2^inftyn(n-1)an x^n-2 + sumn=1^inftyn an x^n - 2sumn=0^inftyan x^n = sumn=0^inftyx^nn!

Passo 4

Reindexando todas as somas para potências x^n e igualando coeficientes, obtemos para todo n>=0:
(n+2)(n+1)an+2 + (n-2)an = 1n!

Passo 5

Usando as condições iniciais y(0)=a0=0 e y'(0)=a1=0, calculamos alguns coeficientes:
a2=12, a3=16, a4=124, a5=0, a6=-1720,dots

Passo 6

Finalmente, a solução fica como série de potências:

Resposta

y(x)=x^22 + x^36 + x^424 - x^6720 + cdots

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