Faça um esboço do gráfico e determine o domínio e imagem das seguintes funções:
f(x)=-2-(3)^x

Passo 1

Estamos com a função f(x)=-2-3^x. O conteúdo envolve funções exponenciais e transformações (reflexão em relação ao eixo x e translação vertical). Nosso objetivo é encontrar domínio, imagem e esboçar o gráfico de forma clara.

Passo 2

A função base é g(x)=3^x. Sabemos que ela tem domínio (0,infty) e imagem g. O gráfico de (0,1) cresce para a direita, passa por y=0 e tem assíntota horizontal .

Passo 3

Para obter f(x)=-2-3^x a partir de g(x)=3^x fazemos duas transformações:
  1. refletimos no eixo x multiplicando por -1, ficando -3^x cuja imagem é -3^x-2;
  2. translamos verticalmente para baixo 2 unidades, gerando , cujo gráfico desce todo em 2 unidades, e a imagem passa a ser .

Passo 4

Analisando limites:
  • Quando xto-infty, 3^xto0^+, então f(x)=-2-3^xto-2. Daí vem a assíntota horizontal y=-2.
  • Quando xto+infty, 3^xto+infty, logo f(x)to-infty. O gráfico fica sempre abaixo de y=-2 e decresce indefinidamente.

Passo 5

Para esboçar, marcamos pontos:
  • x=-1: f(-1)=-2-3^-1=-2-tfrac13approx-2,333.
  • x=0: f(0)=-2-1=-3.
  • x=1: f(1)=-2-3=-5.
    Desenhamos uma curva que se aproxima de y=-2 à esquerda, passa por esses pontos e cai para -infty à direita.

Passo 6

O domínio é o conjunto de todos os x reais, pois 3^x está definido para qualquer x. A imagem, após as transformações, é todos os valores abaixo de -2.

Resposta

Domínio: R. Imagem: (-infty,-2).

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