Faça um esboço do gráfico e determine o domínio e imagem das seguintes funções:
Passo 1
Estamos com a função
. O conteúdo envolve funções exponenciais e transformações (reflexão em relação ao eixo
e translação vertical). Nosso objetivo é encontrar domínio, imagem e esboçar o gráfico de forma clara.
Passo 2
A função base é
. Sabemos que ela tem domínio
e imagem
. O gráfico de
cresce para a direita, passa por
e tem assíntota horizontal
.
Passo 3
Para obter
a partir de
fazemos duas transformações:
- refletimos no eixo
multiplicando por , ficando cuja imagem é ; - translamos verticalmente para baixo 2 unidades, gerando
, cujo gráfico desce todo em 2 unidades, e a imagem passa a ser .
Passo 4
Analisando limites:
- Quando
, , então . Daí vem a assíntota horizontal . - Quando
, , logo . O gráfico fica sempre abaixo de e decresce indefinidamente.
Passo 5
Para esboçar, marcamos pontos:
-
: . -
: . -
: .
Desenhamos uma curva que se aproxima deà esquerda, passa por esses pontos e cai para à direita.
Passo 6
O domínio é o conjunto de todos os
reais, pois
está definido para qualquer
. A imagem, após as transformações, é todos os valores abaixo de
.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
.