Faça um esboço do gráfico de
determinando primeiro: os extremos relativos de
; os pontos de inflexão do gráfico de
; os intervalos nos quais
é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
Passo 1
O enunciado pede, para
Encontrar os extremos relativos de
.
Identificar os pontos de inflexão.
Determinar onde
é crescente/decrescente.
Determinar onde
é côncava para cima/para baixo e a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão.
O conteúdo usado será: derivada primeira para monotonicidade e extremos, derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão. A função é
Passo 2
Calcule a derivada primeira e ache os pontos críticos:
Para extremos, resolvemos
Avalie
nesses pontos:
Passo 3
Classifique os extremos usando a derivada segunda:
Em
, temos
e
, logo
é um máximo local em
.
Em ,
,
, então
Em
é um mínimo local em
.
Passo 4
Monotonicidade em cada intervalo do domínio:
Portanto
é crescente em
.
é decrescente em
e em
.
Passo 5
Pontos de inflexão e concavidade:
Verificando o sinal de
:
Se
,
: concavidade para cima em
.
Se
,
: concavidade para baixo em
.
Logo é ponto de inflexão.
Logo
A inclinação da reta tangente em
é
e
, então a reta tangente é
.
Resposta
Os principais elementos do esboço de
em
são:
(a) Máximo local em .
(b) Mínimo local em .
(c) Ponto de inflexão em com reta tangente
.
(d) Crescente em , decrescente em
e em
.
(e) Côncavo para cima em e côncavo para baixo em
.
(f) Assíntotas verticais em , com
quando
e
quando
.
(a) Máximo local em
(b) Mínimo local em
(c) Ponto de inflexão em
(d) Crescente em
(e) Côncavo para cima em
(f) Assíntotas verticais em