O valor da integral integral0^pi 10 sen(x) e^(3 x+pi) d x é:

Passo 1

O problema pede para calcular a integral integral0^pi10sin(x)e^3x+pi,dx. O conteúdo principal é a técnica de integração por partes e saber encontrar a primitiva de sin x,e^3x.

Passo 2

Observando que e^3x+pi=e^pie^3x, podemos fatorar e^pi como constante:
integral0^pi10sin(x)e^3x+pidx = e^piintegral0^pi10sin(x)e^3xdx

Passo 3

Para calcular I=integral 10sin(x)e^3xdx, primeiro encontramos a primitiva de sin x,e^3x. Usando integração por partes ou resolvendo o sistema para integralsin x,e^3xdx, obtemos:
integralsin x,e^3xdx = e^3x(3sin x - cos x)10 + C
Multiplicando por 10, a primitiva de 10sin x,e^3x é
10integralsin x,e^3xdx = e^3x(3sin x - cos x) + C

Passo 4

Agora avaliamos essa primitiva de x=0 a x=pi:
Em x=pi:
e^3pi(3sinpi - cospi)=e^3pi(0 - (-1))=e^3pi
Em x=0:
e^0(3sin0 - cos0)=1cdot(0-1)=-1
A diferença é
e^3pi-(-1)=e^3pi+1

Passo 5

Multiplicando de volta por e^pi, o valor da integral original fica
e^pi(e^3pi+1)=e^4pi+e^pi

Resposta

e^4pi+e^pi

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