Faça um esboço dos gráfico da função abaixo:
f(x)=4 x^2-1.

Passo 1

O problema pede o esboço do gráfico da função quadrática f(x)=4x^{2}−1. O conteúdo envolvido é o estudo de parábolas, que requer identificar coeficiente, vértice, concavidade e interceptos para desenhar o esboço.

Passo 2

Reescrevemos a função em sua forma padrão f(x)=ax^{2}+bx+c, com a=4, b=0 e c=−1. Para encontrar o vértice usamos a fórmula da abscissa x_{v}=−b/(2a). Aqui temos b=0, a=4, então x_{v}=0 e f(0)=−1. Logo, o vértice é (0,−1).

Passo 3

O coeficiente a=4 é positivo, o que indica que a parábola tem concavidade para cima. Isso significa que o gráfico se abre para cima, apresentando um mínimo em seu vértice.

Passo 4

Para os interceptos com os eixos: y-intercepto ocorre em x=0, já calculado f(0)=−1, então o ponto é (0,−1). Para os x-interceptos, resolvemos 4x^{2}−1=0:
4x^2-1=0 x^2=tfrac14 x=pmtfrac12

Passo 5

Com vértice em (0,−1), interceptos em (0,−1), (\tfrac{1}{2},0) e (−\tfrac{1}{2},0) e sabendo que a parábola abre para cima, podemos traçar o esboço conectando esses pontos de forma simétrica.
Opcionalmente, escolhemos mais um ponto para definir melhor a curvatura, por exemplo x=1: f(1)=4·1−1=3, dando o ponto (1,3) (e simetricamente (−1,3)). Esses pontos reforçam o formato da parábola.

Passo 6

Usando todos esses pontos, desenhamos os eixos coordenados, marcamos o vértice, os interceptos e os pontos auxiliares e, por fim, traçamos a curva suave da parábola.

Resposta

O gráfico é uma parábola com concavidade para cima, vértice em (0,−1), interceptos x em x=±\tfrac{1}{2} e intercepto y em y=−1. Basta marcar os pontos (0,−1), (\tfrac{1}{2},0), (−\tfrac{1}{2},0), (1,3) e (−1,3) e desenhar uma curva simétrica passando por eles.

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