Resolva a seguinte EDO exata:
(y^2+2 x y) d x+(x^2+2 x y) d y=0

Passo 1

Enunciado: resolver a EDO abaixo:
(y^2+2xy),dx+(x^2+2xy),dy=0
Conteúdo: equações diferenciais exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e determinar a função potencial Phi(x,y).

Passo 2

Identificamos M(x,y)=y^2+2xy e N(x,y)=x^2+2xy. Calculamos:
partial Mpartial y=2y+2x
e
partial Npartial x=2x+2y
Como as derivadas coincidem, a EDO é exata.

Passo 3

Para achar Phi(x,y), integramos M em relação a x:
Phi(x,y)=integral(y^2+2xy),dx=xy^2+x^2y+h(y)
onde h(y) é uma função de y a determinar.

Passo 4

Derivando Phi em relação a y temos
partial Phipartial y=2xy+x^2+h'(y)
e essa expressão deve ser igual a N(x,y)=x^2+2xy. Logo,
h'(y)=0
e h(y) é constante.

Passo 5

A solução geral implícita é dada por
Phi(x,y)=xy^2+x^2y=C
com C constante arbitrária.

Resposta

xy^2+x^2y=C

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