Verifique se a equação é exata e resolva-a:
(x+y+1) d x+(x+2 y+3) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial (x+y+1),dx+(x+2y+3),dy=0é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral implícita. Vamos usar o método de equações exatas, que requer identificar as funções M(x,y) e N(x,y) e verificar se partial M/partial y=partial N/partial x.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=x+y+1 e N(x,y)=x+2y+3. Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=1
partial Npartial x=1
Como partial M/partial y=partial N/partial x=1, a equação é exata. Logo, existe uma função potencial phi(x,y) tal que phix=M e phiy=N.

Passo 3

Para encontrar phi(x,y), integramos M em relação a x:
phi(x,y)=integral(x+y+1),dx=x^22+xy+x+C(y)

Passo 4

Agora derivamos phi em relação a y e igualamos a N para determinar C(y):
phiy=x+C'(y)
Igualando a N(x,y)=x+2y+3, obtemos:
$$
x+C’(y)=x+2y+3 x+C'(y)=x+2y+3
C’(y)=2y+3 C'(y)=2y+3
C(y)=y^2+3y+K$$
onde y é constante.

Passo 5

Substituindo C(y) em phi(x,y), temos:
phi(x,y)=x^22+xy+x+y^2+3y+K
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
phi(x,y)=constante

Resposta

x^22+xy+x+y^2+3y=C onde C é constante.

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