Faça o esboço do gráfico da função e diga se a função é apenas injetiva, apenas sobrejetiva ou bijetiva.
Passo 1
Vamos resumir: a função é definida em
por
, e queremos seu esboço, além de verificar injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Para estudar a monotonicidade, calculamos a derivada.
Isso mostra que
Passo 3
Agora, analisamos os limites nas extremidades do domínio para entender a imagem.
Como
Passo 4
Para esboçar o gráfico:
• Em temos
.
• A função decresce sem limites, subindo para quando
e descendo para
quando
.
• Cruza o eixo em
, pois
.
O esboço é uma reta curva decrescente que passa por esses pontos.
• Em
• A função decresce sem limites, subindo para
• Cruza o eixo
O esboço é uma reta curva decrescente que passa por esses pontos.
Passo 5
Concluímos que
é injetiva (é estritamente decrescente) e sobrejetiva (varre todo
), portanto é bijetiva.
Resposta
A função é bijetiva.