Faça o esboço do gráfico da função e diga se a função é apenas injetiva, apenas sobrejetiva ou bijetiva.
f: R+-0 R, f(x)=1-log (x)

Passo 1

Vamos resumir: a função é definida em (0,infty) por f(x)=1-ln(x), e queremos seu esboço, além de verificar injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Para estudar a monotonicidade, calculamos a derivada.
f'(x) = -1x < 0
Isso mostra que f é estritamente decrescente em toda a sua região de definição, logo é injetiva.

Passo 3

Agora, analisamos os limites nas extremidades do domínio para entender a imagem.
limxto0^+f(x)=limxto0^+l(1-ln xr)=+infty,
limxto+inftyf(x)=limxto+inftyl(1-ln xr)=-infty
Como f é contínua e vai de +infty a -infty, ela atinge todo R, logo é sobrejetiva.

Passo 4

Para esboçar o gráfico:
• Em x=1 temos f(1)=1.
• A função decresce sem limites, subindo para +infty quando xto0^+ e descendo para -infty quando xto+infty.
• Cruza o eixo x em x=e, pois f(e)=1-1=0.
O esboço é uma reta curva decrescente que passa por esses pontos.

Passo 5

Concluímos que f é injetiva (é estritamente decrescente) e sobrejetiva (varre todo R), portanto é bijetiva.

Resposta

A função é bijetiva.

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