Faça o esboço de um gráfico de uma função f arbitrária em que f^prime(x1)>0, f^prime(x2)=0, f^prime(x3)<0 para diferentes pontos de dom(f). Se p é um ponto qualquer em dom(f), tente relacionar o sinal de f^prime(p) com o comportamento de f em torno de p.

Passo 1

O enunciado pede um esboço de gráfico de uma função f qualquer de modo que, em três pontos distintos x1<x2<x3 do domínio, tenhamos
;f'(x1)>0,;f'(x2)=0,;f'(x3)<0
Em seguida, precisamos relacionar o sinal de f'(p) para um ponto genérico p ao comportamento de f em volta de p.

Passo 2

Definimos um sistema de eixos e marcamos três pontos sobre o eixo x:
  • x1 à esquerda,
  • x2 no meio,
  • x3 à direita.

Passo 3

Para x em torno de x1, como f'(x1)>0, o gráfico de f está subindo. Ou seja, imediatamente à esquerda e à direita de x1, o valor de f aumenta quando x aumenta.
Em x2, como f'(x2)=0, o gráfico tem tangente horizontal. Isso indica um ponto estacionário: pode ser máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão horizontal. No esboço, basta que a curva seja “achatada” em x2.
Para x em torno de x3, como f'(x3)<0, o gráfico está descendo. Ou seja, ao aumentar x próximo de x3, f(x) diminui.

Passo 4

Juntando tudo, um esboço possível é:
f(x) uparrow ------------------------to x x1 x2 x3
Em x1 a reta “sobe” (slope positivo), em x2 a curva fica “plana” (derivada zero) e em x3 ela “desce” (slope negativo).

Passo 5

Para um ponto genérico p do domínio de f:
  • Se f'(p)>0, o gráfico sobe em torno de p (função crescente localmente).
  • Se f'(p)<0, o gráfico desce em torno de p (função decrescente localmente).
  • Se f'(p)=0, o gráfico tem tangente horizontal em p (ponto estacionário).

Resposta

Um esboço de f é uma curva que aumenta até x2, fica horizontal em x2 e depois decresce. Em geral, o sinal de f'(p) diz se f está subindo ( f'(p)>0), descendo ( f'(p)<0) ou tem tangente horizontal ( f'(p)=0) em torno de p.

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