Faça o esboço de um gráfico de uma função
arbitrária em que
para diferentes pontos de
. Se
é um ponto qualquer em
, tente relacionar o sinal de
com o comportamento de
em torno de
.
Passo 1
O enunciado pede um esboço de gráfico de uma função
qualquer de modo que, em três pontos distintos
do domínio, tenhamos
Em seguida, precisamos relacionar o sinal de para um ponto genérico
ao comportamento de
em volta de
.
Em seguida, precisamos relacionar o sinal de
Passo 2
Definimos um sistema de eixos e marcamos três pontos sobre o eixo
:
-
à esquerda, -
no meio, -
à direita.
Passo 3
Para
em torno de
, como
, o gráfico de
está subindo. Ou seja, imediatamente à esquerda e à direita de
, o valor de
aumenta quando
aumenta.
Em , como
, o gráfico tem tangente horizontal. Isso indica um ponto estacionário: pode ser máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão horizontal. No esboço, basta que a curva seja “achatada” em
.
Para em torno de
, como
, o gráfico está descendo. Ou seja, ao aumentar
próximo de
,
diminui.
Em
Para
Passo 4
Juntando tudo, um esboço possível é:
Em
a reta “sobe” (slope positivo), em
a curva fica “plana” (derivada zero) e em
ela “desce” (slope negativo).
Passo 5
Para um ponto genérico
do domínio de
:
- Se
, o gráfico sobe em torno de (função crescente localmente). - Se
, o gráfico desce em torno de (função decrescente localmente). - Se
, o gráfico tem tangente horizontal em (ponto estacionário).
Resposta
Um esboço de
é uma curva que aumenta até
, fica horizontal em
e depois decresce. Em geral, o sinal de
diz se
está subindo (
), descendo (
) ou tem tangente horizontal (
) em torno de
.