Questão 12. Suponha que
é uma função derivável tal que
para todo
. Se
, o que podemos dizer sobre os pontos de máximo e mínimo de
no intervalo
?
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma função
derivável em
com
e sabemos que
. O problema pede para dizer o que podemos afirmar sobre os pontos de máximo e mínimo de
no intervalo
.
Conteúdo necessário: teste de segunda derivada para concavidade/convexidade, monotonicidade via sinal de e localização de extremos.
Conteúdo necessário: teste de segunda derivada para concavidade/convexidade, monotonicidade via sinal de
Passo 2
Analisamos o sinal de
em
. Como para todo
temos
segue que em
vale
. Logo
é convexa (curvatura “para cima”) em todo esse intervalo e
é estritamente crescente em
.
Passo 3
Sabendo que
é crescente e que
, concluímos:
- Para
em , como está abaixo de zero em pontos anteriores a , existe ; - Para
em , como cresce e passa por zero em , temos .
Isto significa quedecresce em e cresce em .
Passo 4
Pelo comportamento de decrescer–crescer em torno de
, o ponto crítico
é um mínimo local. Como a função é convexa e não há outro ponto crítico em
, esse mínimo em
é também mínimo absoluto no intervalo.
Passo 5
Os únicos candidatos a máximo em
são os extremos do intervalo, pois não há máximo local no interior. Para decidir qual extremidade dá o valor maior, notamos que
Como em
e em
, mas o trecho de
a
é “mais forte” (área positiva maior em valor absoluto) — ou realizando o cálculo direto — obtém‐se
. Logo
e o máximo absoluto em
ocorre em
.
Resposta
A função tem um único ponto crítico em
, que é mínimo absoluto em
. O máximo absoluto no intervalo ocorre em
.