Questão 12. Suponha que f é uma função derivável tal que f^prime prime(x)=(x-1)(x-5) para todo x in R. Se f^prime(8)=0, o que podemos dizer sobre os pontos de máximo e mínimo de f no intervalo [6,10] ?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma função f derivável em R com
f''(x) = (x-1)(x-5)
e sabemos que f'(8)=0. O problema pede para dizer o que podemos afirmar sobre os pontos de máximo e mínimo de f no intervalo [6,10].
Conteúdo necessário: teste de segunda derivada para concavidade/convexidade, monotonicidade via sinal de f' e localização de extremos.

Passo 2

Analisamos o sinal de f''(x) em [6,10]. Como para todo x>5 temos
(x-1)(x-5)>0,
segue que em [6,10] vale f''(x)>0. Logo f é convexa (curvatura “para cima”) em todo esse intervalo e f' é estritamente crescente em [6,10].

Passo 3

Sabendo que f' é crescente e que f'(8)=0, concluímos:
  • Para x<8 em [6,8), como f' está abaixo de zero em pontos anteriores a 8, existe f'(x)<0;
  • Para x>8 em (8,10], como f' cresce e passa por zero em 8, temos f'(x)>0.
    Isto significa que f decresce em [6,8] e cresce em [8,10].

Passo 4

Pelo comportamento de decrescer–crescer em torno de x=8, o ponto crítico x=8 é um mínimo local. Como a função é convexa e não há outro ponto crítico em [6,10], esse mínimo em x=8 é também mínimo absoluto no intervalo.

Passo 5

Os únicos candidatos a máximo em [6,10] são os extremos do intervalo, pois não há máximo local no interior. Para decidir qual extremidade dá o valor maior, notamos que
f(10)-f(6)=integral6^10f'(x),dx
Como em [6,8] f'<0 e em [8,10] f'>0, mas o trecho de 8 a 10 é “mais forte” (área positiva maior em valor absoluto) — ou realizando o cálculo direto — obtém‐se f(10)-f(6)>0. Logo f(10)>f(6) e o máximo absoluto em [6,10] ocorre em x=10.

Resposta

A função tem um único ponto crítico em x=8, que é mínimo absoluto em [6,10]. O máximo absoluto no intervalo ocorre em x=10.

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