Questão 11. Suponha que
é uma função derivável tal que
para todo
. Se
, o que podemos dizer sobre os pontos de máximo e mínimo de
no intervalo
?
Passo 1
O enunciado diz que
é duas vezes diferenciável em
com
e que
. Queremos classificar os extremos de
no intervalo fechado
. Para isso usaremos o fato de que
implica que
é estritamente convexa e que o sinal de
informa onde
cresce ou decresce.
Passo 2
Como
em todo
, concluímos que
é estritamente crescente. Em particular, por ser crescente e satisfazer
, teremos
Passo 3
O teste da segunda derivada diz que, se
e
, então
é um mínimo estrito de
. Além disso, por estrita convexidade, esse é o único ponto crítico e o único mínimo global em
.
Passo 4
Do sinal de
obtemos que
decresce em
(pois
) e cresce em
(pois
). Logo
ou seja,
é o valor mínimo absoluto em
.
Passo 5
Não há nenhum máximo local interno, pois não há outro ponto crítico. Num intervalo fechado, o valor máximo de
será atingido em um dos extremos,
ou
, dependendo de qual fornece maior
-valor.
Resposta
No intervalo
,
tem um único mínimo estrito em
(que é também o mínimo global), não possui máximo local e o máximo absoluto em
ocorre em um dos extremos
ou
.