Questão 11. Suponha que f é uma função derivável tal que f^prime prime(x)>3 para todo x in R. Se f^prime(2)=0, o que podemos dizer sobre os pontos de máximo e mínimo de f no intervalo [0,5] ?

Passo 1

O enunciado diz que f é duas vezes diferenciável em R com
f''(x) > 3para todo xinR,
e que f'(2)=0. Queremos classificar os extremos de f no intervalo fechado [0,5]. Para isso usaremos o fato de que f''>0 implica que f é estritamente convexa e que o sinal de f' informa onde f cresce ou decresce.

Passo 2

Como f''(x)>3>0 em todo x, concluímos que f' é estritamente crescente. Em particular, por ser crescente e satisfazer f'(2)=0, teremos
f'(x)<0para x<2, f'(x)>0para x>2

Passo 3

O teste da segunda derivada diz que, se f'(2)=0 e f''(2)>0, então x=2 é um mínimo estrito de f. Além disso, por estrita convexidade, esse é o único ponto crítico e o único mínimo global em R.

Passo 4

Do sinal de f' obtemos que f decresce em [0,2] (pois f'<0) e cresce em [2,5] (pois f'>0). Logo
f(2)<f(x)para todo xin[0,5],;xneq2,
ou seja, f(2) é o valor mínimo absoluto em [0,5].

Passo 5

Não há nenhum máximo local interno, pois não há outro ponto crítico. Num intervalo fechado, o valor máximo de f será atingido em um dos extremos, x=0 ou x=5, dependendo de qual fornece maior f-valor.

Resposta

No intervalo [0,5], f tem um único mínimo estrito em x=2 (que é também o mínimo global), não possui máximo local e o máximo absoluto em [0,5] ocorre em um dos extremos x=0 ou x=5.

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