Se f(x)=(x+1)(x-1)^-1 verifique que (1-x) f^prime prime(x)=2 f^prime(x).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x) = (x+1)(x-1)^-1
e pede para verificar a relação
(1-x),f''(x) = 2,f'(x)
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas de uma função dada como produto de x+1 por (x-1)^-1, usando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Para obter f'(x) aplicamos a regra do produto a
f(x) = (x+1)cdot (x-1)^-1
Logo,
f'(x) = 1cdot (x-1)^-1 + (x+1)cdot(-1)(x-1)^-2
e simplificando o numerador (x-1)-(x+1)=-2, temos
f'(x) = -2,(x-1)^-2

Passo 3

Para obter f''(x) derivamos
f'(x) = -2,(x-1)^-2
pela regra da cadeia:
f''(x) = -2 cdot (-2),(x-1)^-3 = 4,(x-1)^-3

Passo 4

Agora calculamos o lado esquerdo da identidade:
(1-x),f''(x) = (1-x),4,(x-1)^-3
Como 1-x=-(x-1), segue
(1-x),f''(x) = -4,(x-1),(x-1)^-3 = -4,(x-1)^-2
Por outro lado, de f'(x)=-2,(x-1)^-2 vem
-4,(x-1)^-2 = 2l(-2,(x-1)^-2r) = 2,f'(x)
Logo (1-x),f''(x)=2,f'(x).

Resposta

A relação (1-x),f''(x)=2,f'(x) está verificada.

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