1. Faça o esboço do gráfico da função inversa do seno.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função inversa do seno, ou seja, de arcsin(x). O conteúdo aqui é de funções inversas: para existir inversa devemos restringir o domínio de sin(x) de modo que ela seja bijetora, e então refletir seu gráfico pela reta y=x.

Passo 2

Para tornar sin(x) invertível, restringimos seu domínio ao intervalo em que ela é estritamente crescente e atinge todos os valores de -1 a 1, ou seja,
sincolon l[-tfracpi2,tfracpi2r];to;[-1,1]
Nessa restrição temos bijeção, então existe a inversa
arcsincolon [-1,1];to;l[-tfracpi2,tfracpi2r]

Passo 3

O gráfico de arcsin(x) é obtido refletindo o gráfico de sin(x) (restrito a l[-tfracpi2,tfracpi2r]) em relação à reta y=x. Como sin(x) em l[-tfracpi2,tfracpi2r] vai de (-,tfracpi2,-1) a (tfracpi2,1), ao refletir trocamos as coordenadas:

Passo 4

Pontos-chave e características de arcsin(x):
(-1, -tfracpi2), (0,0) e (1, tfracpi2);
função ímpar ( arcsin(-x)=-arcsin(x));
estritamente crescente, sem assíntotas;
domínio [-1,1], imagem l[-tfracpi2,tfracpi2r].
O esboço é uma curva suave que parte de (-1,-tfracpi2), passa por (0,0) e chega em (1,tfracpi2), com concavidade alternando de côncava para cima perto de -1 a côncava para baixo perto de 1.

Resposta

O gráfico de arcsin(x) é uma curva crescente que une os pontos (-1,-tfracpi2), (0,0) e (1,tfracpi2), simétrica em relação à origem, definido em [-1,1] com imagem l[-tfracpi2,tfracpi2r].

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