Faça o esboço do gráfico da função do segundo grau y=-2 t^2+8 t+42 e aponte seus valores de mínimo OU de máximo.

Passo 1

Resumo do problema: temos a função quadrática y=-2t^2+8t+42. O conteúdo aqui é funções do segundo grau; para esboçar o gráfico precisamos saber a concavidade, o vértice (máximo ou mínimo) e alguns pontos notáveis.

Passo 2

Identificação dos coeficientes e da concavidade: nesta função, a=-2, b=8 e c=42. Como a<0, a parábola abre para baixo, logo ela tem um ponto de máximo.

Passo 3

Cálculo do vértice usando a fórmula tv=-b2a:
tv=-82cdot(-2)=-8-4=2
Em seguida, calculamos yv=f(2):
yv=-2cdot2^2+8cdot2+42=-8+16+42=50
Portanto, o vértice é (2,50) e representa o valor máximo.

Passo 4

Cálculo das raízes para ter mais pontos no esboço: resolvemos -2t^2+8t+42=0. Multiplicando por -1 e dividindo por 2:
t^2-4t-21=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
t=4pmraiz16+842=4pm102
Assim, as raízes são t=-3 e t=7, que são os pontos onde o gráfico corta o eixo t.

Passo 5

Ponto de interceptação com o eixo y: basta tomar t=0, dando y(0)=42. Esse é o ponto (0,42).

Passo 6

Esboço do gráfico: numa folha, desenhe os eixos. Marque o vértice (2,50), as raízes (-3,0) e (7,0) e o ponto (0,42). Como a parábola abre para baixo, conecte esses pontos com uma curva suave para formar o esboço.

Resposta

O vértice está em (2, 50), que é o valor máximo da função: y_{max}=50 quando t=2.

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