Seja
, mostre que o conjunto
é fechado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o conjunto
, onde
é um número real, é fechado. Vamos usar conceitos de topologia, especificamente sobre conjuntos fechados, e algumas propriedades básicas dos números reais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto fechado. Em matemática, especialmente em análise real, um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de acumulação. Outra maneira de ver isso é dizer que o complemento do conjunto é aberto.
Passo 3
Agora, vamos pensar no conjunto
. Esse é um conjunto que contém apenas um único ponto, o número
. Para mostrar que
é fechado, podemos mostrar que o seu complemento, ou seja, todos os números reais que não são
, forma um conjunto aberto.
Passo 4
O complemento de
é
, que é o conjunto de todos os números reais menos o número
. Sabemos que, em
, conjuntos como
são abertos porque podemos sempre encontrar um intervalo ao redor de qualquer ponto diferente de
que não inclui
.
Passo 5
Como o complemento de
é aberto, isso significa, pela definição, que o conjunto
é fechado. Portanto, concluímos que conjuntos de um único ponto em
são fechados.
Resposta
O conjunto
é fechado porque seu complemento é aberto.