Seja a in R, mostre que o conjunto a é fechado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o conjunto a, onde a é um número real, é fechado. Vamos usar conceitos de topologia, especificamente sobre conjuntos fechados, e algumas propriedades básicas dos números reais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto fechado. Em matemática, especialmente em análise real, um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de acumulação. Outra maneira de ver isso é dizer que o complemento do conjunto é aberto.

Passo 3

Agora, vamos pensar no conjunto a. Esse é um conjunto que contém apenas um único ponto, o número a. Para mostrar que a é fechado, podemos mostrar que o seu complemento, ou seja, todos os números reais que não são a, forma um conjunto aberto.

Passo 4

O complemento de a é R setminus a, que é o conjunto de todos os números reais menos o número a. Sabemos que, em R, conjuntos como R setminus a são abertos porque podemos sempre encontrar um intervalo ao redor de qualquer ponto diferente de a que não inclui a.

Passo 5

Como o complemento de a é aberto, isso significa, pela definição, que o conjunto a é fechado. Portanto, concluímos que conjuntos de um único ponto em R são fechados.

Resposta

O conjunto a é fechado porque seu complemento é aberto.

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