Esboce o gráfico da função
f(x)=x^2-12 x+36 e calcule qual a inclinação da reta tangente a esta parábola no ponto x=5.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função f(x)=x^2-12x+36 e precisamos (1) esboçar seu gráfico, analisando vértice, concavidade e interceptos, e (2) calcular a inclinação da reta tangente a essa parábola no ponto em que x=5. Para isso vamos usar completamento de quadrado e derivada.

Passo 2

Para esboçar o gráfico de f(x), fazemos o completamento de quadrado:
x^2-12x+36=(x-6)^2
Isso mostra que o vértice da parábola é (6,0) e que ela abre para cima (coeficiente de x^2 é positivo). Além disso, o intercepto em y é f(0)=36. Marcamos no plano os pontos (6,0) e (0,36) e desenhamos a curva simétrica em relação à reta x=6, com concavidade voltada para cima.

Passo 3

Para achar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto, calculamos a derivada de f(x). Aplicando a regra de potência e soma temos:
f'(x)=2x-12

Passo 4

Substituímos x=5 na derivada para obter a inclinação no ponto desejado:
f'(5)=2cdot5-12=10-12=-2
Portanto, a reta tangente à parábola em x=5 tem inclinação -2.

Resposta

A inclinação da reta tangente em x=5 é -2. O esboço da parábola mostra um vértice em (6,0) e concavidade para cima.

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