A saida y(t) do sistema é aceitavel para quando a entrada do sinal é representada pela serie de Fourier de
? explique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se podemos obter a saída y(t) de um sistema conhecendo a série de Fourier de uma entrada x(t). O conteúdo aqui é Série de Fourier aplicada a sistemas, e vamos precisar usar as propriedades de linearidade e invariância de tempo para justificar o uso da decomposição em harmônicos.
Passo 2
Para usar a Série de Fourier na análise de sistemas, precisamos que o sistema seja linear e invariante no tempo (LTI). Isso garante que a resposta ao somatório de sinais seja o somatório das respostas individuais, e que cada harmônico sofra apenas uma escala e mudança de fase fixa.
Passo 3
Escrevendo a entrada como Série de Fourier:
Se o sistema for LTI com resposta em frequência
, a resposta a cada termo
é
.
Passo 4
Pela superposição, a resposta total será a soma das respostas aos harmônicos:
Isso mostra que podemos obter y(t) diretamente a partir dos coeficientes
e da resposta em frequência
, o que é o procedimento padrão em análise de sistemas LTI.
Passo 5
Portanto, a saída y(t) é aceitável (isto é, corretamente obtida a partir da Série de Fourier de x(t)) somente se o sistema for linear e invariante no tempo. Caso contrário, a decomposição em harmônicos não se aplique via simples multiplicação por
.
Resposta
Sim. Se o sistema for LTI (linear e invariante no tempo), a saída pode ser escrita como
ou seja, basta multiplicar cada coeficiente da série de Fourier de x(t) pela resposta em frequência do sistema.