A saida y(t) do sistema é aceitavel para quando a entrada do sinal é representada pela serie de Fourier de x(t)? explique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se podemos obter a saída y(t) de um sistema conhecendo a série de Fourier de uma entrada x(t). O conteúdo aqui é Série de Fourier aplicada a sistemas, e vamos precisar usar as propriedades de linearidade e invariância de tempo para justificar o uso da decomposição em harmônicos.

Passo 2

Para usar a Série de Fourier na análise de sistemas, precisamos que o sistema seja linear e invariante no tempo (LTI). Isso garante que a resposta ao somatório de sinais seja o somatório das respostas individuais, e que cada harmônico sofra apenas uma escala e mudança de fase fixa.

Passo 3

Escrevendo a entrada como Série de Fourier:
x(t)=sumk=-infty^inftyck e^jkomega0 t
Se o sistema for LTI com resposta em frequência H(jomega), a resposta a cada termo ck e^jkomega0 t é ck H(jkomega0)e^jkomega0 t.

Passo 4

Pela superposição, a resposta total será a soma das respostas aos harmônicos:
y(t)=sumk=-infty^inftyck,H(jkomega0),e^jkomega0 t
Isso mostra que podemos obter y(t) diretamente a partir dos coeficientes ck e da resposta em frequência H, o que é o procedimento padrão em análise de sistemas LTI.

Passo 5

Portanto, a saída y(t) é aceitável (isto é, corretamente obtida a partir da Série de Fourier de x(t)) somente se o sistema for linear e invariante no tempo. Caso contrário, a decomposição em harmônicos não se aplique via simples multiplicação por H(jomega).

Resposta

Sim. Se o sistema for LTI (linear e invariante no tempo), a saída pode ser escrita como
y(t)=sumk=-infty^inftyck,H(jkomega0),e^jkomega0 t,
ou seja, basta multiplicar cada coeficiente da série de Fourier de x(t) pela resposta em frequência do sistema.

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