Faça um esboço do gráfico das funções abaixo:
f(x)=(x-4)^23

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x) = (x-4)^tfrac23,
O conteúdo envolvido é o estudo de funções com expoente fracionário e transformações de gráficos: primeiro analisamos a curva básica y = x^2/3 e depois aplicamos uma translação horizontal de 4 unidades à direita para obter f(x).

Passo 2

Analisamos a curva-padrão
y = x^tfrac23,
Observações sobre esta curva:
  1. Domínio: R.
  2. Imagem: y>=0.
  3. Como x^2/3 = |x|^2/3, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
  4. Em x=0 tem um “cúspide” (derivada infinita) e y(0)=0.
  5. Para x=1 e x=-1, y=1. Para |x| grande, o crescimento é lento e a curva fica cada vez mais “achatada”.

Passo 3

Para obter f(x)=(x-4)^2/3, fazemos a translação horizontal de y=x^2/3 para a direita em 4 unidades. Em outras palavras, tudo o que estava em x passa para x-4. Então o cúspide que antes estava em (0,0) desloca-se para (4,0), e os pontos (1,1) e (-1,1) viram (5,1) e (3,1), respectivamente.

Passo 4

Reunindo as informações para o esboço de f(x):
  • A curva está definida para todo xinR e fica sempre com f(x)>=0.
  • Tem cúspide em l(4,0r), ou seja, a derivada “explode” ali.
  • É simétrica em torno da linha vertical x=4.
  • Passa pelos pontos (3,1), (4,0) e (5,1).
  • Para xtopminfty, a curva cresce pouco e se aproxima de uma linha horizontal de inclinação zero.

Resposta

Para esboçar f(x)=(x-4)^2/3:
  • Marque o ponto de cúspide (4,0).
  • Desenhe uma curva que sai de (4,0), sobe simetricamente para (3,1) e (5,1), e que se “achata” conforme xtopminfty.
  • Garanta a simetria em torno da reta x=4 e o caráter não-negativo da função.

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