Verifique onde as funções a seguir são diferenciáveis:
4.1
f(x, y)=3 ln (x y)+5 sin x

Passo 1

O enunciado pede para identificar onde a função
f(x,y)=3ln(xy)+5sin x
é diferenciável. O conteúdo empregado envolve as propriedades de diferenciabilidade de funções elementares: o logaritmo natural é diferenciável em (0,infty) e o seno é diferenciável em toda reta. Vamos usar também que soma e composição de funções diferenciáveis são diferenciáveis.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio de f. Como existe ln(xy), precisamos de
xy>0,
ou seja, x e y devem ter o mesmo sinal. Logo o domínio de f é
D=l(x,y)inR^2mid xy>0r,
que se decompõe em dois conjuntos disjuntos: x>0,y>0 e x<0,y<0.

Passo 3

Em qualquer (x,y)in D podemos calcular as derivadas parciais. Usando
ddxln(xy)=1xycdot y=1x,
e ddxsin x=cos x, obtém-se
partial fpartial x(x,y) =3cdot1x+5cos x =3x+5cos x,
e
partial fpartial y(x,y) =3cdot1xycdot x =3y

Passo 4

As funções 3x+5cos x e 3y são contínuas em D, pois x e y nunca se anulam em D. Como as derivadas parciais existem e são contínuas em todo ponto de D, concluímos que f é diferenciável em cada ponto desse domínio.

Resposta

A função f(x,y)=3ln(xy)+5sin x é diferenciável em todo (x,y) tal que xy>0, ou seja, nos dois quadrantes em que x e y têm o mesmo sinal.

Exercícios relacionados