Verifique onde as funções a seguir são diferenciáveis:
4.1
4.1
Passo 1
O enunciado pede para identificar onde a função
é diferenciável. O conteúdo empregado envolve as propriedades de diferenciabilidade de funções elementares: o logaritmo natural é diferenciável em
e o seno é diferenciável em toda reta. Vamos usar também que soma e composição de funções diferenciáveis são diferenciáveis.
Passo 2
Primeiro determinamos o domínio de
. Como existe
, precisamos de
ou seja,
e
devem ter o mesmo sinal. Logo o domínio de
é
que se decompõe em dois conjuntos disjuntos:
e
.
Passo 3
Em qualquer
podemos calcular as derivadas parciais. Usando
e
, obtém-se
e
Passo 4
As funções
e
são contínuas em
, pois
e
nunca se anulam em
. Como as derivadas parciais existem e são contínuas em todo ponto de
, concluímos que
é diferenciável em cada ponto desse domínio.
Resposta
A função
é diferenciável em todo
tal que
, ou seja, nos dois quadrantes em que
e
têm o mesmo sinal.